$y=\frac{1}{2}x^2$ 抛物线弧长（标准抛物线弧长）

ヘ(x)

ヘ(x)

$=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

$=\frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})]$

ヘ(1)

1.1477935746963190370171490245947451937989

十二进制：

1;1934792#∗∗532593∗892

ヘ(2)

2.9578857150891948676558120388678288701433

十二进制：

2;#5#28750421895823658

ヘ(3)

5.6526397198686024097401897984294322974724

十二进制：

5;79#91791761∗14899#∗1

ヘ(4)

9.2935675248658717467652311349809183770209

十二进制：

9;36334##229560060897#

ヘ(5)

13.903767954618338385197341443239162165738

十二进制：

11;∗∗186479#00##8506547

ヘ(6)

19.494177517217115052213949004184512567065

十二进制：

17;5#1#321∗#8∗1681#2598

ヘ(7)

26.070797722058477891878466661139404838511

十二进制：

22;0∗2408∗472#1122108∗4

ヘ(8)

33.637267133556057446231854934729356253938

十二进制：

29;77924556∗845#9157308

ヘ(9)

42.195955114561310508618495904741483481762

十二进制：

36;24273∗∗05#∗21∗643#18

ヘ(∗)

51.748489580753436220519622332596107673028

十二进制：

43;8#9481∗#45467∗944282

ヘ(#)

62.296036692055347800269997733403997231866

十二进制：

52;3676749∗#17∗∗#04∗1∗∗

ヘ(dozen)

73.839460191603712294227931946156382730158

十二进制：

61;∗0∗70684∗#0∗#1569#89

对于更加一般的抛物线（parabola，ペフㇳ，畢弗），也就是

$y=\frac{1}{2p}(x−b)^2+h$ ，其从(b , h)处到(b+n， $\frac{n^2}{2p}$ +h)的弧长满足：

Lₙ= $pヘ(\frac{n}{p})$ ，比如对于抛物线y=x²从(0 , 0)到(n , n²)的弧长，其满足L= $\frac{1}{2}ヘ(2n)$：

1

1.4789428575445974338279060194339144350716

等于0.5ヘ(2)

2

4.6467837624329358733826155674904591885104

等于0.5ヘ(4)

3

9.7470887586085575261069745020922562835327

等于0.5ヘ(6)

4

16.818633566778028723115927467364678126969

等于0.5ヘ(8)

5

25.874244790376718110259811166298053836514

等于0.5ヘ(∗)

6

36.919730095801856147113965973078191365079

等于0.5ヘ(dozen)

其他曲线（包括直线）的弧长

其中， Lₓ= $\int \sqrt{1+(y')^2}dx$ 。 Lₓ是弧积分函数，其难度要远远大于其而面积分（普通的积分，也就是反导函数）的难度。只有极少数种类的曲线的弧积分可以写成初等函数封闭式。

y=c

弧长

Lₓ=x

一次函数，直线y=kx+h

弧长

Lₓ= $\sqrt{1+k^2}x$

标准抛物线

y= $\frac{1}{2}x^2$

弧长

Lₓ=

$\frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})]$

将 $\frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})]$ 记作ヘ(x)，则有

一般抛物线

y= $\frac{1}{2k}x^2$

弧长

Lₓ= $kヘ(\frac{x}{k})$

卧抛物线【y²=2kx】

对于 $y=\sqrt{2kx}$ ，则有

Lₓ= $|k|ヘ[\frac{\sqrt{2kx}}{{k}}]$

指数曲线

$y=\frac{1}{k}e^{kx}$

或者

$y=|\frac{1}{k}|e^{kx}$

弧长 $L_x=\frac{2\sqrt{1+e^{2kx}}-\ln(\sqrt{1+e^{2kx}}+1)+\ln(\sqrt{1+e^{2kx}}-1)}{2k}-\frac{2\sqrt{2}-\ln(\sqrt{2}+1)+\ln(\sqrt{2}-1)}{2k}$

对数曲线

y= $\frac{\ln(kx)}{k}$

弧长

Lₓ= $\frac{2\sqrt{1+k^2x^2} −\ln(\sqrt{1+k^2x^2} +1)+\ln(\sqrt{1+k^2x^2} −1)}{2k}+\frac{2\sqrt{1+k^2}-\ln(\sqrt{1+k^2}+1)+\ln(\sqrt{1+k^2}-1)}{2k}$

悬链线

y= $k \cosh(\frac{x}{k})−k+h$

弧长

Lₓ= $k \sinh(\frac{x}{k})$

y= $x^{x^{−1}}$

弧长

Lₓ≈x+1;0009112（十二进制）(x≥5)

旧版二分之三次曲线

y= $kx^{\frac{3}{2}}$

弧长

Lₓ= $|k|\sqrt{[x+(\frac{2}{3k})^2]^3}-k(\frac{2}{3k})^3$

旧版二分之三次曲线的反函数

y= $(\frac{x}{k})^{\frac{2}{3}}$

弧长

Lₓ= $sgn(x)[|k|\sqrt{[(\frac{x}{k})^{\frac{2}{3}}+(\frac{2}{3k})^2]^3}-k(\frac{2}{3k})^3]$

新版二分之三次曲线

y= $\frac{2}{3k}x^{\frac{3}{2}}$

Lₓ= $\frac{2}{3|k|}\sqrt{[x+k^2]^3}-\frac{2}{3}k^2$

新版二分之三次曲线的反函数

y= $(\frac{3kx}{2})^{\frac{2}{3}}$

Lₓ= $sgn(x)[\frac{2}{3|k|}\sqrt{[(\frac{3kx}{2})^{\frac{2}{3}}+k^2]^3}-\frac{2}{3}k^2]$

= $sgn(x)[\frac{\sqrt{[(3x)^{\frac{2}{3}}+(2k^2)^{\frac{2}{3}}]^{3}}}{3}-\frac{2}{3}k^2]$

半圆

y= $\sqrt{r^2−x^2}$

弧长

Lₓ= $r \arcsin(\frac{x}{r})$

正弦函数、馀弦函数

y=sin(x)、y=cos(x)

四分之一弧长

1.91009889451385600895238104108572164595

半周期弧长

L(π)=3.82019778902771201790476208217144329190

最小正周期弧长

L(2π)=7.64039557805542403580952416434288658381

比值

L(π)÷π=1.21600672342497978031259272328085470564

y=|x|

弧长

Lₓ= $\sqrt{2}x$ 【|x|】（x的绝对值）有时也写作【abs(x)】

y=sgn(x)

弧长

Lₓ=x

摆线

x=r(t−sin t)

y=r(1−cos t)

最小正周期内的弧长

Lz(最小正周期弧长)=8r

最小正周期为2πr

弧长与最小正周期之比为 $\frac{4}{\pi}$

等角螺线

r(s)=ceᵏˢ

也可以写作

r=ceᵏˢ

s以内的弧长

Lₛ= $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}ce^{ks}$

如果将等角螺线限制于r以内，则有

L= $r\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}$

正方形■周长

C=4a

矩形周长

C=2(a+b)

圆周长

C=2πr=πd

正方形面积

∑=a²

长方形面积

∑=ab

平行四边形面积

∑=ah

三角形面积

∑= $\frac{1}{2}ah=ah÷2$

梯形面积

∑=(a+b)·h÷2= $\frac{(a+b)h}{2}$

正多边形面积

∑=da(n)a²

其中，n是边数，a是边长

da(n)

= $\frac{n}{4}cot(\frac{\pi}{n})$

= $\frac{n}{4}÷tan(\frac{\pi}{n})$

da(2)=0

da(3)= $\frac{\sqrt{3}}{4}$

da(4)=1

da(6)= $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

da(8)= $2+2\sqrt{2}$

da(dozen)= $6+3\sqrt{3}$

da(2)=0

da(3)=0.4330127018922193233818615853764680917357

da(4)=1

da(5)=1.7204774005889669227590119773886095994073

da(6)=2.5980762113533159402911695122588085504142

da(7)=3.6339124440015889925361930076002205787350

da(8)=4.8284271247461900976033774484193961571393

da(9)=6.1818241937729001272137440596197636149417

$6+3\sqrt{3}$ =11.196152422706631880582339024517617100828

圆面积

∑=πr²= $\frac{πd^2}{4}$

挖去圆的面积

∑= $1−\frac{\pi}{4}$

圆叶的面积

∑

=[1−2(1− $\frac{\pi}{4}$ )]a²

= $[\frac{\pi}{2}−1]a^2$

球面面积

∑=4πr²=πd²

立方体表面积

∑=6a²

长方体面积

∑=2(ab+bc+ac)

圆柱表面积

∑=2πr(r+h)

计算圆周率

由于得到精确的圆周率会准确地计算与圆有关的物体的周长、周长、体积，比如：

圆周长

C=2πr=(2π)r=πd

圆面积

S=πr²= $\frac{πd^2}{4}$

圆柱体积

V=πr²h= $\frac{πd^{2}h}{4}$

圆锥体积

V

= $\frac{1}{3}πr^2h$

=0;4πr²h（十二进制中）

（又一次显示出十二进制的优势）

=0;1πd²h（十二进制中）

圆柱表面积

S=2πr(r+h)=c(r+h)

圆锥表面积

S= $πr[r+\sqrt{r^2+h^2}]$

圆柱侧面积

S=2πrh

圆锥侧面积

S=πr√(r²+h²)=πrl

圆柱的实用面积

S=2πrh+πr²=πr(2h+r)

球体体积（也就是立圆体积，リㇷ゚ヲㇴ体积）

V

= $\frac{4}{3}πd^3$

=1;4πd³（十二进制）

=πd³÷6

=0;2πd³（十二进制）

球面面积

S=4πr²=πd²

所以在古代，人们就关注圆周率的数值计算问题。

密率

密律 3;18480∗240512

圆周率 3;184809493#91

3ﾗ184809493#91

密率即 $\frac{355}{113}$ ，十二进制作 $\frac{257}{95}$ ，是圆周率比较精确的一个有理近似值。

密率的最大优势，是在用幂级数计算三角函数的时候。

比如，在计算正弦函数的时候，先用级数函数定義正弦函数：

y

=sin(x)

$=\sum[\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{(n+1)!}]$

$=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+etc$

$=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}+etc$

我要计算10度角所对应的正弦，先将其化为弧度制，则有：

10度

$=\frac{1}{18}\pi$

$\approx \frac{355}{2034}$

代入幂级数，则有

sin(10度)

$=\sin(\frac{1}{18}\pi)$

$\approx \frac{3.141592653589}{18}-\frac{(355 \div 2034)^3}{6}+\frac{(355 \div 2034)^5}{120}$

≈0.17364817

从而精确地计算出正弦值

参考值：

π ≈ 3.1415926535 …

$\frac{355}{113}$ ≈ 3.1415929203 …