孪生质数无穷多的证明 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki

引理

微分、导函数

由微分可知

$\mathrm{\frac{dx^2}{dx}}$

$\mathrm{=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}}$

$\mathrm{=\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}}$

$\mathrm{=2x+\Delta x}$

$\mathrm{\Delta x}$ 趋于0时， $\mathrm{\frac{dx^2}{dx}}$ 会趋于2x，遂有极限式：

$\mathrm{\lim_{n \to \infty} (1-\frac{2}{n})=\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^2}$

通俗的说，就是指：

$\mathrm{(1-\frac{2}{n}) \approx (1-\frac{1}{n})^2}$ (n趋于无穷大时，二者相等)

遂有

$\mathrm{\lim_{n \to \infty} \frac{n}{[\ln(n)]^2}=\infty}$

$\mathrm{(1-\frac{1}{n})^2 \approx (1-\frac{2}{n})}$

证明

N(twin primes)

$\mathrm{=\lim_{n \to \infty}[n \cdot \frac{1}{3} (1-\frac{2}{5})(1-\frac{2}{7})(1-\frac{2}{11})(1-\frac{2}{13})......]}$

$\mathrm{=\lim_{n \to \infty}[n \cdot (1-\frac{2}{3})(1-\frac{2}{5})(1-\frac{2}{7})(1-\frac{2}{11})(1-\frac{2}{13})......]}$

$\mathrm{=\lim_{n \to \infty}n \cdot k[(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{11})(1-\frac{1}{13})......]^2}$

$\mathrm{=\lim_{n \to \infty}4kn[(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{11})(1-\frac{1}{13})......]^2}$

$\mathrm{=\lim_{n \to \infty} \frac{4kn}{[\ln(n)+\gamma]^2}}$

$=\infty$

也就是孪生质数有无穷多。

意味

孪生质数无穷多意味着有无穷多个形如(6n−1)的质数，因为几乎所有的孪生质数相邻于6n，也就是不包括3。

小百科

n以内孪生质数的估计

$\mathrm{\pi_2(n)\approx \frac{4}{3}\frac{n}{[\ln(n)]^2}}$

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