孤独数是指对于正整数n，其对于 $\frac{\sigma(n)}{n}$ 具有独一无二的取值。也就是孤独数具有其他正整数所没有的 $\frac{\sigma(n)}{n}$ 取值。

友谊数则是一个数的 $\frac{\sigma(n)}{n}$ 满足与另一个数 $\frac{\sigma(n)}{n}$ 相同的数。

其中，σ(n)是n的所有因子的和。

比如

$\frac{\sigma(6)}{6}=\frac{1+2+3+6}{6}=2$

$\frac{\sigma(28)}{28}=\frac{1+2+4+7+14+28}{28}=2$

6既是最小的完美数，又是最小的友谊数。

所以完美数必定不是孤独数。

$\frac{\sigma(1)}{1}=1$ ，1有着最小的 $\frac{\sigma(n)}{n}$ ，1是最小的孤独数。

1、质数、质数幂、殆完全数(2ⁿ)必定是孤独数；完美数必定是友谊数。

$\frac{\sigma(1)}{1}=1$

$\frac{\sigma(p)}{p}=\frac{p+1}{p}=1+\frac{1}{p}$

$\frac{\sigma(p^{n})}{p^{n}}=1+\frac{p^{n}-1}{(p-1)p^{n}}$

$\frac{\sigma(2^{n})}{2^{n}}=1+\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$

孤独数列表

这个列表包括被认为可能是孤独数的数

1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,

友谊数列表

6, 12, 24, 28, 30, 40, 42, 56, 60, 66, 78, 80, 84, 96, 102, 108, 114, 120, 132, 135, 138, 140, 150, 168, 174, 186, 200, 204, 210, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 264, 270, 273, 276, 280, 282, 294, 300, 308, 312, 318, 330, 348, 354, 360, 364, 366, 372, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, etc

友谊数群

完美数列表

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, etc

目前已发现51个完美数

triply perfect

120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160

4-perfect

30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, 1379454720, 43861478400, 66433720320, 153003540480, 403031236608, 704575228896, 181742883469056, 6088728021160320, 14942123276641920, 20158185857531904, 275502900594021408

5-multiperfect numbers

14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, 30823866178560, 740344994887680, 796928461056000, 212517062615531520, 69357059049509038080, 87934476737668055040, 170206605192656148480

6-multiperfect numbers.

154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, 6205958672455589512937472000, 13297004660164711617331200000, 15229814702070563916152832000

σ(n)÷n表示的n, 使得σ(n)可以被n整除

整数级合数数: σ(n)除以n