哥德巴赫猜想，也叫ゴードバᆽ猜想（Goldbach conjecture），其流行版本的表述如下

对于大于等于6的偶数，其总能写成二个奇质数之和(不包括1, 2)

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

至今已验证到6～4·10¹⁸，而没有任何反例。

2n对奇质数的哥德巴赫分拆数

纯粹版本

正偶数都能写成质数之和：

2=1+1

4=2+2=1+3

6=3+3=1+5

8=1+7=3+5

等等

变化版本

对于大于等于4的偶数，其总能写成二个质数之和(不包括1)：

4=2+2

6=3+3

etc

强化版本哥德巴赫猜想

大于等于8的偶数总能写成二个不相同的质数之和(不包括1)：

8=3+5

10=3+7

12=5+7

14=3+11

16=3+13=5+11

18=5+13=7+11

20=3+17=7+13

22=3+19=5+17

24=5+19=7+17=11+13

26=3+23=7+19

28=5+23=11+17

30=7+23=11+19=13+17

32=3+29=13+19

34=3+31=5+29=11+23

36=5+31=7+29=13+23=17+19

38=7+31

40=3+37=11+29=17+23

强化版本哥德巴赫猜想的等价命题

对于整数n，n≥4时，总存在某个整数k，使得(n−k)、(n+k)都是质数。

杜伯纳猜想 | 豆ㇷ゙ノー猜想 | Dubner's conjecture

杜伯纳猜想是比哥德巴赫猜想更加强的堆垒数论问题，也就是从4210开始，偶数都能被拆分成二个孪生质数之和。由于士大夫已经证明了孪生质数有无穷个，所以这个猜想具有合理性。

1996年，美国的电气工程师和数学研究者哈维·杜伯纳（1928年～2019年）提出，所有充分大的偶数（大于4208），都可以表示为二个孪生质数之和。

注意到杜伯纳猜想里的偶数下界是4208，比哥德巴赫猜想里的偶数下界4要大，说明2～4208范围的部分偶数不能用两个孪生素数的和表示出来，这些偶数是：

94, 96, 98, 400, 402, 404, 514, 516, 518, 784, 786, 788, 904, 906, 908, 1114, 1116, 1118, 1144, 1146, 1148, 1264, 1266, 1268, 1354, 1356, 1358, 3244, 3246, 3248, 4204, 4206, 4208

并且，这些偶数在历史版本哥德巴赫猜想中都有拆分：

94=5+89

96=7+89

98=19+79

400=41+359

402=43+359

404=7+397

514=11+503

516=13+503

518=19+499

784=11+773

786=13+773

788=19+769

904=17+887

906=19+887

908=31+877

1114=5+1109

1116=7+1109

1118=31+1087

1144=41+1103

1146=43+1103

1148=19+1129

1264=5+1259

1266=7+1259

1268=19+1249

1354=47+1307

1356=29+1327

1358=31+1327

3244=23+3221

3246=29+3217

3248=31+3217

4204=3+4201

4206=5+4201

4208=7+4201

也就是说，杜伯纳猜想得证，意味着哥德巴赫猜想的得证！

20161

大于20161的整数都成写成二个过剩数之和。

OEIS对强化版本哥德巴赫猜想的描述

等价形式为0<k<n使得(n−k)、(n+k)都是素数。

意味

哥德巴赫猜想，不仅仅是数学智力遊戏，也是一个对数学影响很大的命题。

哥德巴赫猜想，可能意味着加法与乘法存在着不可思议的关联。

虽然目前人们认为加法与乘法没有什么关联，比如2+3=5，2·3=6；2+4=6，2·4=8，就让人感觉加法与乘法没有什么明显的联系。

强化版本哥德巴赫猜想的影响力

不可及数

不可及数（Untouchable Number）是这样的一些正整数，它们无法表示为任意一个正整数的自身全部正因子之和 $\mathrm{[\sigma(n)-n]}$ 。

例

$\sigma(1)-1=0$

$\sigma(2)-2=1$

$\sigma(3)-3=1$

$\sigma(p)-p=1$

$\sigma(4)-4=1+2=3$

$\mathrm{\sigma(p_{a}p_{b})-p_{a}p_{b}=1+p_{a}+p_{b}=2n+1}$

$\sigma(6)-6=1+2+3=6$

$\mathrm{\sigma(2^{n})-2^{n}=2^{n}-1}$

所以，完美数、5以外的奇数是可及数。

5就是不可及数。也就是 $\mathrm{(\sigma(n)-n)}$ ≠5

相反的，4就不是不可及数，因为4可以表示为1+3，这是9的正因子（不考虑9本身）的和，也就是 $\sigma(9)-9=1+3=4$ ，因此4不是不可及数。

在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保罗·埃尔德什(埃尔德什·帕尔，Erdős Pál，エㇾ土ㇲ·パㇻ)证明了不可及数有无穷多个。

人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想，也就是在原有条件下要求两个质数不相同得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。

完全数显然不是不可及数：

比如

$\sigma(6)-6=1+2+3=6$

$\sigma(28)-28=1+2+4+7+14=28$

$\sigma(496)-496=1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$

梅森数显然不是不可及数：

$\mathrm{\sigma(2^{n})-2^{n}=2^{n}-1}$

不可及数不可能比质数多1：

$\mathrm{\sigma(p^{2})-p^{2}=p+1}$

除了5这个特例，不可及数不可能比质数多3：

$\mathrm{\sigma(2p)-2p=1+2+p=p+3}$

It is thought that 5 is the only odd untouchable number. This would follow from a very slightly stronger version of the Goldbach conjecture, namely the conjecture that every even integer n>6 is the sum of two distinct primes. Suppose 2n+1 is an odd number greater than 7. Then 2n=p+q by the conjecture, and so the proper divisors of pq, which are 1, p, and q, sum to 1+p+q=2n+1, and so 2n+1 is not untouchable. 1, 3 and 7 are not untouchable, being the sum of the proper divisors of 2, 4, and 8, respectively. That leaves 5 as the only odd untouchable number (F. Adams-Watters, pers. comm., Aug. 4, 2006).

人们认为 5 是唯一不可及的奇数。这将来自哥德巴赫猜想的一个非常强的版本，即每个偶数整数 n>6 是两个不同质数之和的猜想。假设 2n+1 是一个大于 7 的奇数。然后 2n=p+q 根据猜想，所以 pq 的正确除数，即 1、p 和 q，总和为 1+p+q=2n+1，因此 2n+1 不是不可及数。1、3 和 7 不是不可及数，分别是 2、4 和 8 的正除数之和。这样一来，5 就成为唯一不可及的奇数（F. Adams-Watters， pers. comm.， Aug. 4， 2006）。

不可及数列表