哥德巴赫猜想 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki
哥德巴赫猜想,也叫ゴードバᆽ猜想(Goldbach conjecture),其流行版本的表述如下
对于大于等于6的偶数,其总能写成二个奇质数之和
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
至今已验证到6~4·10¹⁸,而没有任何反例。
历史版本
正偶数都能写成非合数之和:
2=1+1
4=2+2=1+3
6=3+3=1+5
8=1+7=3+5
等等
变化版本
对于大于等于4的偶数,其总能写成二个质数之和:
4=2+2
6=3+3
etc
强化版本哥德巴赫猜想
大于等于8的偶数总能写成二个不相同的质数之和:
8=3+5
10=3+7
12=5+7
14=3+11
16=3+13=5+11
18=5+13=7+11
20=3+17=7+13
22=3+19=5+17
24=5+19=7+17=11+13
26=3+23=7+19
28=5+23=11+17
30=7+23=11+19=13+17
32=3+29=13+19
34=3+31=5+29=11+23
36=5+31=7+29=13+23=17+19
38=7+31
40=3+37=11+29=17+23
强化版本哥德巴赫猜想的等价命题
对于整数n,n≥4时,总存在某个整数k,使得(n−k)、(n+k)都是质数。
杜伯纳猜想 | 豆ㇷ゙ノー猜想 | Dubner's conjecture
杜伯纳猜想是比哥德巴赫猜想更加强的堆垒数论问题,也就是从4210开始,偶数都能被拆分成二个孪生质数之和。由于士大夫已经证明了孪生质数有无穷个,所以这个猜想具有合理性。
1996年,美国的电气工程师和数学研究者哈维·杜伯纳(1928年~2019年)提出,所有充分大的偶数(大于4208),都可以表示为二个孪生质数之和。
注意到杜伯纳猜想里的偶数下界是4208,比哥德巴赫猜想里的偶数下界4要大,说明2~4208范围的部分偶数不能用两个孪生素数的和表示出来,这些偶数是:
2, 4, 94, 96, 98, 400, 402, 404, 514, 516, 518, 784, 786, 788, 904, 906, 908, 1114, 1116, 1118, 1144, 1146, 1148, 1264, 1266, 1268, 1354, 1356, 1358, 3244, 3246, 3248, 4204, 4206, 4208
并且,这些偶数在历史版本哥德巴赫猜想中都有拆分:
4=2+2
94=5+89
96=7+89
98=19+79
400=41+359
402=43+359
404=7+397
514=11+503
516=13+503
518=19+499
784=11+773
786=13+773
788=19+769
904=17+887
906=19+887
908=31+877
1114=5+1109
1116=7+1109
1118=31+1087
1144=41+1103
1146=43+1103
1148=19+1129
1264=5+1259
1266=7+1259
1268=19+1249
1354=47+1307
1356=29+1327
1358=31+1327
3244=23+3221
3246=29+3217
3248=31+3217
4204=3+4201
4206=5+4201
4208=7+4201
也就是说,杜伯纳猜想得证,意味着哥德巴赫猜想的得证!
20161
大于20161的整数都成写成二个过剩数之和。
OEIS对强化版本哥德巴赫猜想的描述
等价形式为0<k<n使得(n−k)、(n+k)都是素数。
意味
哥德巴赫猜想,不仅仅是数学智力遊戏,也是一个对数学影响很大的命题。
哥德巴赫猜想,可能意味着加法与乘法存在着不可思议的关联。
虽然目前人们认为加法与乘法没有什么关联,比如2+3=5,2·3=6;2+4=6,2·4=8,就让人感觉加法与乘法没有什么明显的联系。
强化版本哥德巴赫猜想的影响力
不可及数
不可及数(Untouchable Number)是这样的一些正整数,它们无法表示为任意一个正整数的自身全部正因子之和 $\mathrm{[\sigma(n)-n]}$ 。
例
$\sigma(1)-1=0$
$\sigma(2)-2=1$
$\sigma(3)-3=1$
$\sigma(p)-p=1$
$\sigma(4)-4=1+2=3$
$\mathrm{\sigma(p_{a}p_{b})-p_{a}p_{b}=1+p_{a}+p_{b}=2n+1}$
$\sigma(6)-6=1+2+3=6$
$\mathrm{\sigma(2^{n})-2^{n}=2^{n}-1}$
所以,完美数、5以外的奇数是可及数。
5就是不可及数。也就是 $\mathrm{(\sigma(n)-n)}$ ≠5
相反的,4就不是不可及数,因为4可以表示为1+3,这是9的正因子(不考虑9本身)的和,也就是 $\sigma(9)-9=1+3=4$ ,因此4不是不可及数。
在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……
保罗·埃尔德什(埃尔德什·帕尔,Erdős Pál,エㇾ土ㇲ·パㇻ)证明了不可及数有无穷多个。
人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数,但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想,也就是在原有条件下要求两个质数不相同得到此推论。如果这个猜想成立,那么除了2和5,不可及数都应该是合数。
完全数显然不是不可及数:
比如
$\sigma(6)-6=1+2+3=6$
$\sigma(28)-28=1+2+4+7+14=28$
$\sigma(496)-496=1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$
梅森数显然不是不可及数:
$\mathrm{\sigma(2^{n})-2^{n}=2^{n}-1}$
不可及数不可能比质数多1:
$\mathrm{\sigma(p^{2})-p^{2}=p+1}$
除了5这个特例,不可及数不可能比质数多3:
$\mathrm{\sigma(2p)-2p=1+2+p=p+3}$
It is thought that 5 is the only odd untouchable number. This would follow from a very slightly stronger version of the Goldbach conjecture, namely the conjecture that every even integer n>6 is the sum of two distinct primes. Suppose 2n+1 is an odd number greater than 7. Then 2n=p+q by the conjecture, and so the proper divisors of pq, which are 1, p, and q, sum to 1+p+q=2n+1, and so 2n+1 is not untouchable. 1, 3 and 7 are not untouchable, being the sum of the proper divisors of 2, 4, and 8, respectively. That leaves 5 as the only odd untouchable number (F. Adams-Watters, pers. comm., Aug. 4, 2006).
人们认为 5 是唯一不可及的奇数。这将来自哥德巴赫猜想的一个非常强的版本,即每个偶数整数 n>6 是两个不同质数之和的猜想。假设 2n+1 是一个大于 7 的奇数。然后 2n=p+q 根据猜想,所以 pq 的正确除数,即 1、p 和 q,总和为 1+p+q=2n+1,因此 2n+1 不是不可及数。1、3 和 7 不是不可及数,分别是 2、4 和 8 的正除数之和。这样一来,5 就成为唯一不可及的奇数(F. Adams-Watters, pers. comm., Aug. 4, 2006)。