亏数、完美数、过剩数 - johanzumimvon/Johan-zumimvon-Christianity GitHub Wiki

一个整数，其存在 $\frac{\sigma(n)}{n}$ ，其 $\frac{\sigma(n)}{n}<2$ 时，其为亏数；其 $\frac{\sigma(n)}{n}=2$ 时，其为完美数；其 $\frac{\sigma(n)}{n}>2$ 时，其为过剩数；

比如 $\frac{\sigma(4)}{4}=\frac{1+2+4}{4}=\frac{7}{4}=2-\frac{1}{4}$ ，所以4既是亏数，又是殆完全数。

$\frac{\sigma(6)}{6}=\frac{1+2+3+6}{6}=2$ ，所以6是完美数。

$\frac{\sigma(120)}{120}=\frac{1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120}{120}=3>2$ 所以120是过剩数。

亏数

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86

殆完全数

殆完全数就是2ⁿ，n取自然数。

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, etc

完美数

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, etc

完美数必定能表示成 $\mathrm{\frac{M(M+1)}{2}}$ 的形式，其中M是形如 $\mathrm{(2^{p}-1)}$ 的质数，比如 $2^{7}-1=127$ ，则 $\frac{127\cdot128}{2}=8128$ 是完美数。

完美数的十二进制形式

n	完美数
1	6
2	24
3	354
4	4854
5	#29#854
6	17#8891054
7	22777#33854

过剩数

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270