筹算: 开平方 - johanzumimvon/E_textbook GitHub Wiki
十进制
$\sqrt{71824}$
解
設71824爲實(シㇳ); $\sqrt{71824}$爲商(quotiens, 弋丌ェㇴㇲ, 可省作弋テㇴㇲ); 下法(ハーポㇷ゚)恒为1.
其中, 为了便于筹算的传播, 相关術语(端言)使用片假名, 也就是
| 原名 | 片假名 | latin |
|---|---|---|
| 商 | 弋テㇴㇲ | quotens |
| 實 | シㇳ | sit |
| 廉 | レㇺ | lem |
| 下法 | ハーポㇷ゚ | hapop |
| 弋テㇴㇲ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| レㇺ | |||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
求第一个商数
第一步先估计第一个商数爲2, 安置「𝍪」於百位, 得
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| レㇺ | |||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
所取商数入廉(interlem, イㇴトーレㇺ)得
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| 𝍪 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
又由于二二得四, 遂从𝍯万减𝍬万得𝍫万
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| 𝍪 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
求第二个商数
第一次所取商数再次入廉, 2+2=4
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| 𝍬 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
下法退二位; 廉退一位
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ |
| 𝍣 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
估算: x(40+x)≤318
x=6
第二个商数为6, 得
318−276=42
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ | |
| 𝍣 | 𝍮 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
将新商数入廉得
6+46=52
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ | |
| 𝍤 | 𝍪 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
廉数退一位; 下法退二位.
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍬 | シㇳ | |
| 𝍭 | 𝍡 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
士大夫评论
下法其实就是下标
估算:
x(520+x)≤4224
x=8
第三个商数为8, 得
4224−4224=0
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | 弋テㇴㇲ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ロ | シㇳ | ||||
| 𝍭 | 𝍡 | 𝍰 | レㇺ | ||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
新商数入廉得
8+528=536
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | 弋テㇴㇲ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ロ | シㇳ | ||||
| 𝍭 | 𝍢 | 𝍮 | レㇺ | ||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
由于實变成0, 因此开方结束, $\sqrt{71824}=268$
变式习题
用筹算计算 $\sqrt{71825}$, 精确位数由你定.
解
| 弋テㇴㇲ | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| レㇺ | |||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
求第一个商数
第一步先估计第一个商数爲2, 安置「𝍪」於百位, 得
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| レㇺ | |||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
所取商数入廉(interlem, イㇴトーレㇺ)得
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍯 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| 𝍪 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
又由于二二得四, 遂从𝍯万减𝍬万得𝍫万
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| 𝍪 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
求第二个商数
第一次所取商数再次入廉, 2+2=4
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| 𝍬 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
下法退二位; 廉退一位
| 𝍪 | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍫 | 𝍠 | 𝍰 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ |
| 𝍣 | レㇺ | ||||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
估算: x(40+x)≤318
x=6
第二个商数为6, 得
318−276=42
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ | |
| 𝍣 | 𝍮 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
将新商数入廉得
6+46=52
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ | |
| 𝍤 | 𝍪 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
廉数退一位; 下法退二位.
| 𝍪 | 𝍥 | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍣 | 𝍪 | 𝍡 | 𝍭 | シㇳ | |
| 𝍭 | 𝍡 | レㇺ | |||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
士大夫评论
下法其实就是下标
估算: x(520+x)≤4225
x=8
第三个商数为8, 得
4225−4224=1
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | 弋テㇴㇲ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | シㇳ | ||||
| 𝍭 | 𝍡 | 𝍰 | レㇺ | ||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
新商数入廉得
8+528=536
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | 弋テㇴㇲ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | シㇳ | ||||
| 𝍭 | 𝍢 | 𝍮 | レㇺ | ||
| 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
廉数退一位; 下法退二位.
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | ﾗ | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | ﾗ | シㇳ | ||||||
| 𝍤 | 𝍫 | ﾗ | 𝍥 | レㇺ | ||||
| ﾗ | 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
在实际操作中, 可以用分隔距离来表示小数点.
估算: x(5360+x)≤100
x=0
第四个商数为0, 得
100−0=100
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | ﾗ | ロ | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | ﾗ | シㇳ | ||||||
| 𝍤 | 𝍫 | ﾗ | 𝍥 | ロ | レㇺ | |||
| ﾗ | 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
新商数入廉得
0+5360=0
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | ﾗ | ロ | 弋テㇴㇲ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | ﾗ | シㇳ | ||||||
| 𝍤 | 𝍫 | ﾗ | 𝍥 | ロ | レㇺ | |||
| ﾗ | 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
廉数退一位; 下法退二位.
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | ﾗ | ロ | 弋テㇴㇲ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | ﾗ | シㇳ | ||||||||
| 𝍭 | ﾗ | 𝍢 | 𝍮 | ロ | レㇺ | |||||
| ﾗ | 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
估算: x(26800+x)≤10000
x=0
第五个商数为0, 得
10000−0=0
| 𝍪 | 𝍥 | 𝍰 | ﾗ | ロ | ロ | 弋テㇴㇲ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 𝍩 | ﾗ | シㇳ | ||||||||
| 𝍭 | ﾗ | 𝍢 | 𝍮 | ロ | ロ | レㇺ | ||||
| ﾗ | 𝍩 | ハーポㇷ゚ |
新商数入廉得
0+53600=0
十二进制推广
利用十二进制算筹, 可以以类似的效果计算 $\sqrt{35694}$.
十二进制的乘法规则见十二进制条目