高斯质数, 又名gaussian prime, gaussian primus, ガウシャㇴ质数.

种类

高斯整数, 是指对于a+bi, 其中的a, b皆取整数时的複数.

当b=0时, 1, (4n−1)型质数是高斯质数, 也就是线内高斯质数; 2, (4n+1)型质数可以继续被分解到数轴外, 变成线外高斯质数的乘积:

2=(1+i)(1−i)

5=(2+i)(2−i)

13=(3+2i)(3−2i)

当a=0时, b取1或者(4n−1)型质数时也是高斯质数, 比如i, 3i, 7i, 11i, 19i, 23i, 31i, 43i, 47i.

a, b不为0时, 则a²+b²=primus时, a+bi是高斯质数.

比如3+2i是高斯质数, 因为3²+2²=13.

$\frac{1}{8}$複平面上的12以内的高斯质数列表

线内高斯质数

1, 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 523, 547, 563, 571

十二进制

1, 3, 7, #, 17, 1#, 27, 37, 3#, 4#, 57, 5#, 67, 6#, 87, 8#, ∗7, ∗#, #7, 107, 117, 11#, 12#, 13#, 147, 157, 167, 16#, 17#, 18#, 19#, 1∗7, 1#7

线内高斯质数必定是1或者(4n−1)的形式; 形如(4n−1)的传统质数必定是高斯质数

线外高斯质数

高斯质数	对应的(a²+b²)
1+i	2
2+i	5
4+i	17
6+i	37
10+i	101
3+2i	13
5+2i	29
7+2i	53
8+3i	73
10+3i	109
5+4i	41
9+4i	97
11+4i	137
6+5i	61
8+5i	89
11+6i	157
8+7i	113
10+9i	181

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617

十二进制

2, 5, 11, 15, 25, 31, 35, 45, 51, 61, 75, 81, 85, 91, 95, #5, 105, 111

2或者不包括1的(4n+1)形质数必定会被分解成线外高斯质数之积.

无穷之德

由孪生质数无穷多的证明可知, 任何一对孿生質數, 必定有一个是(4n+1), 另一个是(4n−1)或者(4n+3), 因此形如(4n−1)的质数有无穷多个. 複平面上的高斯质数亦有无穷多个.

对高斯的争议: 1是不是质数

以下是壹是质数的观念

数学天才高斯 究竟失於何处

A008578

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271

士大夫评论

那么, 零就应该是合数, 因为零可以被任何正整数整除.

0, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28

1是质数对数学造成的影响

1是质数, 则1是最小的质数, 偶质数2就不是最小的质数了.

1是质数, 则Meissel_Mertens数(メーセㇻ̲メㇻ̲テㇴ数)会变成1.26149721284764278375542683860869585; 布朗(ㇷ゙ロㇴ)常数则由1.9021605823(十二进制: 1ﾗ∗9∗#25097070)变成3.2354939156(十二进制: 3ﾗ29∗#25097070); 黎明猜想的等价命题则变成随着n的增加，第(n+1)个质数的开n次方递减

$\mathrm{\sqrt[n]{p(n+1)}>\sqrt[n+1]{p(n+2)}>p(1)}$

$2>\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{7}>\sqrt[5]{11}>\sqrt[6]{13}>\sqrt[7]{17}>\sqrt[8]{19}>\sqrt[9]{23}>\mathrm{etc}>1$

算術基本定理则会变成

任何一个大于1的自然数N, 如果N不是质数, 那么N可以被惟一地分解成有穷个1以外的质数的乘积; 1会被分解成自身.

当然, 1是质数对数学的最大影响,就是每个原来的质数, 其所属序数加1. 比如11(十一, 十二进制: #)本来是第5个质数, 1成为第一个质数之後, #反而成了第六个质数.

1虽然是质数了, 虽然数学定理(theōrēm, セオーレーㇺ)的正确性并没有發生变化, 但是数学命题的描述方式有一些变化, 就好像变了参考系一样, 但看到的是同样的真理.

比如对于算術基本定理, 只要在陈述上加上限制条件(限格), 排除掉1这个特殊质数就可以了.

所以把1视为质数的独特身份, 并不会对数学定理本身造成任何影响; 把1视为质数, 说不定会在未来数学证明中起到重要作用.