费马质数, 亦名费马素数, Fermat Primus, ﾌｴーマー質數(或者ﾌｴーマㇳ質數), ﾌｴーマーㇷ゚リムㇲ, 是指形如 $\mathrm{2^{2^{n}}+1}$ 的质数.

目前已知的费马质数只有五个, 也就是

3, 5, 17, 257, 65537

写成十二进制则是

3, 5, 15, 195, 31#15

第六个费马数 $\mathrm{2^{2^{5}}}$

第六个费马数为

9#∗461595=22#1681·455

费马质数只有五个

广义费马数

广义费马数, 是指形如 $\mathrm{2^{n}+1}$ 的数, 目前已知的广义费马质数只有六个, 也就是

n	$\mathrm{2^{n}+1}$
0	2
1	3
2	5
4	15
8	195
14	31#15

事实上, 除了2, 通过简单的代数, 其他的广义费马质数可以等价于费马质数.

尺规作图

事实上, 广义费马质数与尺规作图密切相关.

其中, 由于可以二等分任意角, 所以可以作正方形、正八边形、正十六边形、 $\mathrm{正2^{n}形}$; 又因为有五个费马质数, 所以可以作正三角形、正五边形、正十七边形、正二百五十七边形、正六万五千五百三十七边形, 但不可以作正九边形(二刻尺可以)、正二十七边形(二刻尺可以)这样相同费马质数相乘的图形, 也不可作正十一边形(二刻尺可以). 但可以作正六边形、正十二边形、正二十四边形、 $\mathrm{正3\cdot2^{n}形}$、正五边形、正十边形、正二十边形、正四十边形、正八十边形、正百六十边形、 $\mathrm{正5\cdot2^{n}形}$、正十五边形(允许二个或者多个相异的费马质数相乘)、正三十边形、正六十边形、正百二十边形、 $\mathrm{正3\cdot5\cdot2^{n}形}$等等.

也就是说, 费马质数实际上就是尺规作图质数. 又由于尺规作图与二次方程(二次代数数), 所以我估计费马质数只有已知的五个.

质数定理的检验

復次, 根据质数定理, 正整数x是质数的概率为 $\mathrm{\frac{1}{\ln(x)}}$ , 第n个费马数是质数的概率为 $\mathrm{\frac{1}{2^{n}\ln(2)}}$, 是一个等比数列, 那么无穷求和之後会得到 $\mathrm{\frac{2}{\ln(2)}\approx3}$, 接近于五个费马质数这一事实.

费马质数在其他基数下的推广

2ⁿ+1

n	2ⁿ+1
0	2
1	3
2	5
4	17
8	257
16	65537

6ⁿ+1

n	6ⁿ+1
0	2
1	7
2	37
4	1297

10ⁿ+1

n	10ⁿ+1
0	2
1	11
2	101

12ⁿ+1

n	12ⁿ+1
0	2
1	13

14ⁿ+1

n	14ⁿ+1
0	2
2	197

18ⁿ+1

n	18ⁿ+1
0	2
1	19

20ⁿ+1

n	20ⁿ+1
0	2
2	401
4	160001

22ⁿ+1

n	22ⁿ+1
0	2
1	23