ピー

3.14, 是圆周率的近似值, 圆周率的近似值亦有 $\frac{22}{7}$, 3.1416, $\frac{355}{113}$.

计算圆面积时更多地会用直径直接计算, 这是因为直径更容易被测量出来, 也就是 $\mathrm{S=\frac{\pi}{4} d^{2}}$, 这个时候, $\frac{\pi}{4}$就会更有意义, 其近似值分别为0.785, $\frac{5.5}{7}$, 0.7854, $\frac{452}{113}$

圆周率是圆周长与圆直径之比

C=πd=2πr=π(2r)_{在仅仅给出半径时求周长}

π= $\mathrm{\frac{C}{d}}$

π= $\mathrm{\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}$

π=2arcsin(1)

圆周率是圆面积与半径平方之比

S=πr²=r(πr)

π= $\mathrm{\frac{S}{r^{2}}}$

由于圆的直径更容易被测量, 因此计算圆的面积时, 更多地使用 $\mathrm{S=\frac{1}{4}\pi d^{2}}$, 其中, 如果是小学五年级数学的话, 可以取 $\frac{\pi}{4}\approx0.785=\frac{785}{1000}$; 香港则为 $\frac{\pi}{4}\approx\frac{5.5}{7}$.

圆周率是高斯(ガウシャㇴ)积分的平方

π= $\mathrm{[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx]^{2}}$

圆周率与平方数的倒数和有关

ζ(2)=π²÷6

6ζ(2)=π²

圆周率是正弦函数的最小正根, 其中正弦函数为

$\mathrm{\sin x = x + \sum \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

则圆周率为方程

$\mathrm{0 = x + \sum \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

的最小正值

用于计算圆的面积

S=πr²

S= $\mathrm{\frac{\pi}{4}d^{2}}$

用于计算圆柱的体积

V=πr²h

用于计算圆锥的体积

$\mathrm{V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}$

用于计算圆柱的侧面积

S=2πrh=πdh

用于计算圆柱的表面积

S=2πr(r+h)=πd(d÷2+h)

用于计算无盖圆柱的面积

S=πr²+2πrh=πr(r+2h)

用于计算球体的体积

$\mathrm{V=\frac{4}{3}\pi r^{2}=\frac{\pi d^{2}}{6}}$

用于计算球的表面积

S=4πr²=πd²

用于计算圆环的面积

π(R²−r²)=π(R+r)(R−r)

用于计算椭圆(Ellipse, ellīpsis, エㇻ̲リーㇷ゚シㇲ)的面积

S=πab

a为半长轴, b为半短轴

S= $\frac{1}{4}$πAB

A为长轴; B为短轴

注意

椭圆的周长是很难计算的, 无法表示成ln(a)等等初等式子的形式.

计算扇形的面积角度制

$\mathrm{S=\frac{\pi r^{2}\cdot n゚}{360゚}}$

计算扇形的面积弧度制

S=θr²÷2

π= $\mathrm{4[4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})]}$

$\mathrm{\frac{\pi}{4}=4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})}$

其中,

$\mathrm{\arctan(x)=x+\sum\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}}$

$\mathrm{\arctan(\frac{1}{5})=\frac{1}{5}-\frac{1}{3\cdot 5^{3}}+\frac{1}{5\cdot 5^{5}}-\frac{1}{7\cdot 5^{7}}+etc}$

$\mathrm{\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot 239^{3}}+\frac{1}{5\cdot 239^{5}}-\frac{1}{7\cdot 239^{7}}+etc}$

$\frac{\pi}{6}=\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{\sum \frac{(-1)^{n}}{2n+1}(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2n+1}}$

$\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1-\frac{1}{3\cdot3^{1}}+\frac{1}{5\cdot3^{2}}-\frac{1}{7\cdot3^{3}}+\frac{1}{9\cdot3^{4}}-\frac{1}{11\cdot3^{5}}+\mathrm{etc})$

$\mathrm{\pi=2\sqrt{3}(1+\sum\frac{(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)})}$

$\mathrm{\frac{\pi}{4}=\arctan(\frac{1}{2})+\arctan(\frac{1}{3})}$

$\mathrm{\frac{\pi}{4}=5\arctan(\frac{1}{7})+2\arctan(\frac{3}{79})}$

$\mathrm{\frac{\pi}{2}=1+\frac{n!}{(2n+1)!!}}$

其中, n!是阶乘, 有

0!=1 这样可便于递归计算

1!=1

2!=1·2=2

3!=1·2·3=6

n!=1·2·3·etc·(n−2)(n−1)n

0!!=1

1!!=1

2!!=2

3!!=3

4!!=2·4=8

5!!=3·5=15

6!!=2·4·6=48

7!!=3·5·7=105

8!!=2·4·6·8=384

9!!=3·5·7·9=945

945是最小的奇过剩数, 且奇过剩数有无穷多个, 比如945(2n+1).

10!!=2·4·6·8·10=3840

11!!=3·5·7·9·11=10395

a₀=1

$\mathrm{b_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\mathrm{c_{0}=\frac{1}{4}}$

d₀=1

$\mathrm{a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}}$

$\mathrm{b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}}$

$\mathrm{c_{n+1}=c_{n}-d_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}}$

$\mathrm{d_{n+1}=2d_{n}}$

$\mathrm{\pi\approx\frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{4c_{n}}}$

下面给出前三个迭代结果仌

3.14

3.1415926

3.141592653589793238

该算法具有二阶收敛性, 本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍.

但是该算法需要大量的内存指令, 属于内存密集型任务, 需要大量的GPU的辅助.

$\mathrm{\pi=3.3-\frac{1}{6}+\sum \frac{1}{16^{n}}(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6})}$

其他算法亦有拉马努金(ラマヌﾁｬ゙ㇴ)算法、楚德诺夫斯基(ヅ_ドノーㇲキー)算法.

最早的时候, 人们使用目测法得出圆周率近似值是3

後来出现了测量法、近似法, 得出的近似值各不同, 有3.125, $\sqrt{10}$, $\frac{339}{108}$, $[\frac{16}{9}]^{2}$, 而古埃及(アエギㇷ゚ト゚ㇲ)则發现, 直径为9的圆, 面积接近于边长为8的正方形, 也就是π的近似值为3.1605.

阿基米德(´Αρχιμήδης, アㇻ̲ヒミ드ㇲ)發明割圆術, 结束了测量法求圆周率.

提出地心说的托勒密(Ptolemaeus, ㇷ゚トレマェウㇲ)得到圆周率为3.1416, 属于朒数(ニュ̅ㇰスー, 不足近似值), 早于刘徽达到斯精度. 也就是说, 徽率竟然是由托勒密算出来的.

小百科

最早提出日心说的人并不是ニコラ·コペㇻ̲ニㇰ(哥白尼), 而是阿利斯塔克(Aristarchus, アリㇲタㇻ̲乛̲ㇲ)

士大夫评论

刘徽与托勒密独立地使用了同种计算圆周率的方法, 即割圆術.

印度天文学家阿耶波多(アーㇻ̲ヤバタ)亦得到了圆周率的近似值3.1416.

祖冲之得到圆周率的近似值为3.1415926~3.1415927, 但尚未知道使用了什么方法, 要知道直接使用割圆術, 不一定会算出来. 祖冲之又得到 $\frac{355}{113}$这个简明的有理近似值, 等于3.14159292.

印度人Madhava_マドハワ發明了用级数计算圆周率的方法, 打破了祖冲之的纪录.

而元朝时, 西亚 丌ムリヤーㇴ_{تیموریان}的数学家イ̲ヤース_ド도ㇴ·ﾁｬ゙ㇺシ゚ー_ド·カーサ゚ーニー_{غیاث الدین جمشید کاشانی}

π= $3+\mathrm{4\sum \frac{(-1)^{n-1}}{2n(2n+1)(2n+2)}}$

牛顿(ニュートㇴ)發明了用级数计算圆周率的方法, 并计算圆周率到小数点後15位.

$\mathrm{\arcsin(x)=x+\sum\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

$π=6\arcsin(\frac{1}{2})$

$\mathrm{=3+6\sum\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{2^{-(2n+1)}}{2n+1}}$

英国数学家マチㇴ(Machin)發明マチㇴ公式, 并且计算圆周率到小数点後100位.

尤拉(Euler, ユラ)引入圆周率符号π, 这个符号事实上读作「ピー」.

圆周率被证明是无理数、超越数, 尺规作图下的化圆为方被证明是不可能.

在德国_{ゲㇻ̲マーニア}, 圆周率又名鲁道夫_{Ludolphvan Ceulen, ル土ㇻ̲ﾌｧㇴ·ケウレㇴ}数

用于记忆圆周率数值的文学作品, 亦名piem, 是由poem与pi组成的ヲー_ド.

比如

山颠一寺一壶旧, 尔乐苦煞吾.

每个ヲー_ド的字母数为圆周率的数值.

Now I need a juice, Kentucky's of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.

现在我要杯ヅーㇲ_{果汁, 此处指肯德基九珍}, 当然是肯德基_{ケㇴトㇳキー}牌子的, 在大量涉及量子力学的讲座之後.

Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees, Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.

圆周率也可以指2008年3月14号(圆周率日)的西藏暴动, 2008年3月14号下午1点59分26秒535毫秒897微秒932纳秒384皮秒626飞秒时许, ラサ市处于暴动状态, 因此西藏暴动反抗亦名圆周率事件.