e是无理数的证明 - johanzumimvon/2 GitHub Wiki

假设 $\mathrm{e=\frac{m}{k}}$, 则有

$\mathrm{\frac{m}{k}=e=1+\sum\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+etc+\frac{1}{k!}+\frac{オ}{(k+1)!}}$

则有

$\mathrm{\frac{m}{k}-[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+etc+\frac{1}{k!}]=\frac{オ}{(k+1)!}}$

乘以 $\mathrm{k!}$可得

$\mathrm{(k-1)!m-k![1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+etc+\frac{1}{k!}]=\frac{k!オ }{(k+1)!}}$

其中, 左边是整数, 右边不是整数, 因此e不是有理数.

最早發现無理数的人是ヒパスス_hipasus.

$\mathrm{\sqrt{n}}$是无理数则可由连分数法得以证明. 这是因为有理数的连分数必定是有穷长, 而二次代数数的连分数是无穷循环.

事实上对于 $\mathrm{\sqrt[m]{n}}$, 其必定是整数或者无理数, 不可能是分数有理数, 之所以如此, 是因为每个整数的质因数分解是惟一的.

比如以 $\mathrm{a=\sqrt[3]{12}}$为例, 有:

$\mathrm{a=12^{\frac{1}{3}}}$

$\mathrm{a^{3}=12}$

$\mathrm{a^{3}=2^{2}\cdot{3}}$

由整数的质因数分解的惟一之德可知, 如果a是分数, 则其m次方必定是分数, 因此 $a=\mathrm{\sqrt[3]{12}}$必定是无理数.

对于 $\mathrm{a=\sqrt[m]{n}}$, 则有:

$\mathrm{a=n^{\frac{1}{m}}}$

$\mathrm{a^m=n}$

由整数的质因数分解的惟一之德可知, 如果a是分数, 则aᵐ必定是分数, 因此 $\mathrm{a=\sqrt[m]{n}}$要么是整数, 要么是无理数.

而对于 $\mathrm{\log_{m}{n}}$, 其必定是整数或者无理数, 不可能是分数有理数,是事实亦可由整数的惟一质因数分解得到, 对于质因数分解的惟一之德, 则可由算数的惟一性与可逆性得到.

$\mathrm{a=\log_{m}n}$

$\mathrm{m^a=n}$

由整数的质因数分解的惟一之德可知, a要么是整数, 要么是无理数.

假设eⁿ是有理数, $\mathrm{e^{n}=\frac{m}{k}}$, 则有

$\mathrm{\frac{m}{k}=e^{n}=1+\frac{n}{1!}+\frac{n^{2}}{2!}+\frac{n^{3}}{3!}+etc+\frac{n^{k}}{k!}+\frac{オ}{(k+1)!}}$

则有

$\mathrm{\frac{m}{k}-[1+\frac{n}{1!}+\frac{n^{2}}{2!}+\frac{n^{3}}{3!}+etc+\frac{n^{k}}{k!}]=\frac{オ}{(k+1)!}}$

乘以 $\mathrm{k!}$可得

$\mathrm{(k-1)!m-k![1+\frac{n}{1!}+\frac{n^{2}}{2!}+\frac{n^{3}}{3!}+etc+\frac{n^{k}}{k!}]=\frac{k!オ }{(k+1)!}}$

其中, 左边是整数, 右边不是整数, 因此eⁿ不是有理数.

$\mathrm{e^{\frac{m}{n}}}$是无理数. 这是因为有理数的乘方必定是有理数, 因此对无理数开方必定会得到无理数.

假设ln(n)是有理数, 则有:

$\mathrm{\ln(n)=\frac{m}{k}}$

$\mathrm{e^{\frac{m}{k}}=n}$

$\mathrm{e^{m}=n^{k}}$

其中, eᵐ是无理数, 而nᵏ是有理数, 因此式子左右相悖, 因此ln(n)是无理数.

$\mathrm{a=\ln(\frac{m}{n})}$

$\mathrm{e^{a}=\frac{m}{n}}$

又由于a取有理数时eᵃ是无理数, 因此要想使式子左边为有理数, $\mathrm{\ln(\frac{m}{n})}$必须是无理数.

比如以0.123412341234etc为例, 其可被写作 $\frac{1234}{10^{4}-1}$, 因此是有理数.

对于循环节长度为a的无穷循环小数, 其必定可以被写成命分为[10ᵃ−1]形式的有理数, 比如

$\frac{1}{7}=\frac{142857}{999999}$

旧	部定
分子	舉分, キューフㇴ
分母	命分, ミョーフㇴ, 亦可作ミューﾌｪㇴ
分数	Fractio, フラㇰ丌オ
分子/分母	$\mathrm{\frac{キューフㇴ}{ミョーフㇴ}=\frac{舉分}{命分}}$

对于自然数n, 其倒数的循环节最长为(n−1). 比如以7为例, 十进制中, 其有:

10÷7=1モㇳ3

30÷7=4モㇳ2

20÷7=2モㇳ6

60÷7=8モㇳ4

40÷7=5モㇳ5

50÷7=7モㇳ1

可以看出, 每次除法过程, 其馀数都不会达到7, 即使是十二进制, 其每次的馀数也不会达到7:

10÷7=1モㇳ5

50÷7=8モㇳ4

40÷7=6モㇳ6

60÷7=∗モㇳ2

20÷7=3モㇳ3

30÷7=5モㇳ1

这就意味着, $\frac{1}{7}$的循环节最长为6位, 也就是除了7的倍数_{能够写成7n形式的数, 比如7, 14, 21, 28, 等等}, $\mathrm{{k^{7}-1}}$可以被7整除.

所以, 对于自然数n, 其循环节最长为[n−1].

若n有值，則可證以二項式:

$e= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

$=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^k $

$=\lim_{n\to\infty} \left[C_{n}^{0}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{n}^{1}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{n}^{2}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{n}^{3}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right] $

$=\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right] $

$=\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2!\times n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!\times n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right] $

$=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} $

$=2.71828...$

其之有

$0!=1 $

$n!=1\cdot2\cdot3\cdot...n=\textstyle \prod_{k=1}^n \displaystyle k=n(n-1)! $

$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$

$\mathrm{e=1+\sum\frac{1}{n!}}$

$\mathrm{=\lim\frac{E_k}{k!}}$

Eₙ是一个特殊数列，其满足：

E₀=1

Eₙ=1+nEₙ₋₁

n	aₙ
1	2
2	5
3	16
4	65
5	326
6	1957

比如， $\mathrm{e}\approx \frac{1957}{6!}$ =2.718055555555555

在没有任何说明的情况下，∑是指从n=1加起，加到∞。

$\ln(2)=2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{3})^{2n-1}]$

=2[1÷1÷3+1÷3÷3³+1÷5÷3⁵+1÷7÷3⁷+1÷9÷3⁹+etc]

对于3⁻ⁿ，十二进制中有更简便的计算！

$\ln(9)=3\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{17})^{2n-1}]$

$\ln(3)=\frac{1}{2}\ln(9)$

$\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(12)=2\ln(2)+\ln(3)$

$\ln(5)=2\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{9})^{2n-1}]$

$\ln(7)=3\ln(2)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{15})^{2n-1}]$

$\ln(11)=2\ln(2)+\ln(3)-2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{23})^{2n-1}]$

$\ln(13)=2\ln(2)+\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{25})^{2n-1}]$

$\ln(17)=4\ln(2)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{33})^{2n-1}]$

$\ln(19)=\ln(2)+2\ln(3)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{37})^{2n-1}]$

$\ln(23)=\ln(2)+\ln(11)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{45})^{2n-1}]$

$\ln(29)=2\ln(2)+\ln(7)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{57})^{2n-1}]$

$\ln(31)=\ln(5)+\ln(6)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{61})^{2n-1}]$

$\ln(37)=\ln(36)+2\sum [\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{73})^{2n-1}]$