提示

本内容较为艰涩，较为适合高中毕业生、大学生学习，不太适合高中生、高校生、初中生学习。

公理化集合论是指剃除ルセㇾ悖论、自指悖论的集合论，也是现在人们所接触的集合论。

在介绍集合论之前，先介绍介绍ルセㇾ悖论、自指悖论

朴素集合论造成的悖论

集合应该被看作元素吗

设集合M={イ, ロ}，则M的子集有

{ }（空集）, {イ}, {ロ}, {イ, ロ}

如果将{ }、{イ}、{ロ}、{イ, ロ}也算作元素的话，则有

M={イ, ロ, { }, {イ}, {ロ}, {イ, ロ}}

继续迭代，则会得到

M={イ, ロ, { }, {イ}, {ロ}, {イ, ロ},{イ, { }}, {イ, {イ}}, {イ, {ロ}}, {イ, {イ, ロ}}, {ロ, { }}, {ロ, {イ}}, {ロ, {ロ}}, {ロ, {イ, ロ}}}

之后迭代则会无穷无尽，这就是集合论中的悖论。

ルセㇾ悖论(ルセㇾパラトㇰスㇺ)

ルセㇾ悖论，也叫剃须悖论、书目悖论。

剃须悖论

在某个城邑裡，有一位剃髮师，声称：

我只为城裡人剃须，而且一定只要为城里所有这样的人剃须，这样的人不给自己剃须。

但问题是：剃髮师该为自己剃须吗？如果他为自己剃须，那么按照他的豪言，他不应该为自己剃须；但如果他不为自己剃须，同样按照他的豪言，他又应该为自己剃须。

这个悖论，有解决方法，就是限制集合的包含范围，也就是除了剃髮师不适合条件，其他城邑的人都符合这样的条件。

自指悖论

有一个中国智者，他说，中国人喜欢骗人。

对于这个悖论，有解决方法，就是这个智者所指的中国人不包括自己本身。

书目悖论

书名悖论，也叫目录悖论，要目悖论，有多种描述方式

图书馆裡有许多书籍没有名称，或遂编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有的无名书籍。那么这部书名词典要不要列出自己的书名？

今有一图书馆员，想将所有无名书籍编辑成一册，则将所有无名书籍名称统整在一起的该书该不该拥有自己名称的条目？

士大夫评论

现实生活中，人们处理这样事情的时候，习惯在书名词典最开头写上【总书】【总编】【集】这样的名子；有些书籍的目录也有目录所在页面。

归属悖论

当时数学家对集合论的评价

一开始，有些数学家反对将集合论当做数学基础，认为这只是一场含有“奇幻元素”的游戏。对集合论最常见的反对意见来自数学结构主义者，他们认为数学多少都和计算有些关系的，但朴素集合论却加入了非计算性的内容。

埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗_弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。

解决方案

1908年，德国数学家仄梅罗 (E.Zermelo，仄メロ)提出公理化集合论，试图把集合论公理化的方法来消除悖论。 他认为悖论的出现是由于康托尔(カㇴトㇿ，cantor)沒有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性質更为显然。

仄メロ不仅提出了公理化集合论，也提出了对于公开的博弈（遊戏），存在着某方必不败策略，这就是仄メロ定理(Zermelo theorem，仄メロ𠂉オレㇺ)。比如围棋、中国象棋、国际象棋、井字棋等等棋类遊戏，就是只要一方作出变化，另一方也会知道其变化，这样有必不败策略的遊戏被数学家称为公平遊戏。

未来，人工智能很可能会发现围棋等等所有棋类遊戏的必不败策略，估计到时候人们就难以理解围棋少年等等涉及棋类遊戏的作品的思想了。

比如对于集合M={イ, ロ}，其中规定{ }, {イ}, {ロ}, {イ, ロ}不是元素。

集合论

元素

元素是集合的最小单位。

集合是指由元素组成的实体，集合的元素为0时，集合为空集。

数可以作为元素，也就是

质数集由全部质数组成
正整数集由全部正整数组成
自然数集由0、正整数组成
整数集由整数组成
有理数集由有理数组成
实数集由实数组成
複数集由複数组成

对于M={イ, ロ}，有

イ∈M    イ属于エㇺメ
ロ∈M    ロ属于エㇺメ
ハ∉M    ハ不属于エㇺメ

对于集合{y | y=x²}，其包含了任何正实数

对于集合{aₙ | aₙ=2n−1}，其包含了全部的奇数

对于集合{aₙ | aₙ=3n}，其包含了全部的三的倍数，也就是3_“偶”数，学名サㇺスー.

子集

将集合中的部分或者全部元素取出，被取出有元素会组成另一个集合，也就是子集。由于可以取0个元素，所以空集{ }是任何集合的子集。

如果取0个元素或者只取部分元素，得到的集合是真子集。

对于M={イ, ロ}，有

{ }、{イ}、{ロ}、{イ, ロ}是M的子集，记作

{ }⊆M
{イ}⊆M
{ロ}⊆M
{イ, ロ}⊆M
{ロ, ハ}≠M

由于{イ, ロ}有着与M等同的元素，所以有

{イ, ロ}=M

这就是集合相等

如果去掉全集{イ, ロ}，则会得到真子集，也就是

{ }⊂M
{イ}⊂M
{ロ}⊂M
{イ, ロ}⊄M

集合的运算

其中，M={イ, ロ}，N={ロ, ハ}

集合加法

集合加法，就是找出集合中所有出现过的元素

M+N=M∪N={イ, ロ, ハ}

集合减法

M−N=M∪N−N={イ}

集合截法

集合截法，也就是找出集合中的相同元素

M∩N={ロ}

局部与整体

对于有穷集合，全集总是大于真子集，也就是总体总是大于局部，比如

对于M={イ, ロ}，其局部有

{ }
{イ}
{ロ}

可以看到，{イ, ロ}总是大于其局部。

但是对于无穷集合，就不一定如此了，比如对于{aₙ | aₙ=2n−1}，其就是正整数的真子集，但其可以与真子集组成映射：

x	y
1	1
2	3
3	5
4	7
5	9
6	11
7	13
8	15
9	17
etc	etc
n	2n−1

所有，正整数的数目与奇数等势。

等势是指无穷集合可以建立映射。可以看作相等在无穷集合的延伸。

求证:有理数的数目与整数等势

证明：

设有理数为 $\mathrm{\frac{m}{n}}$ ，则对于 $\mathrm{\frac{m}{n}}$ ，可以建立如下映射

x	y
1	$\frac{1}{1}$
2	$\frac{1}{2}$
3	$\frac{2}{1}$
4	$\frac{1}{3}$
5	$\frac{2}{2}$
6	$\frac{3}{1}$
7	$\frac{1}{4}$
8	$\frac{2}{3}$
9	$\frac{3}{2}$
etc	etc
$\mathrm{1+\frac{n(n-1)}{2}}$	$\mathrm{\frac{1}{n}}$

由此可知，有理数的数目等势于整数。

求证:有理数等势于平面上的点

证明:

设平面上的点为(イ, ロ)，数轴上的点为x，则二者可以通过对角线论证构成映射，如下表所示

イ	ロ	x
1.11	2.22	12.1212
144	12	104142
2.7182	0.6931	20.76198321
e	ln(2)	20.76198321……

这让我想到了十六进制色彩代码，其原理也是如出一辙，比如#5900FF，就是指蓝紫色，也就是可见光中波长最短的色彩。也就是三维的红绿蓝，可以表示为一维的#******的形式。

这就证明了，直线内全部的点、平面内全部的点、立体内全部的点、高维空间内全部的点皆等势于实数数目。

通过单调函数y=arctan(x)的映射可知，线段上的点等势于直线上的点。

通过对数函数y=ln(x)的映射可知，射线上的点等势于直线上的点。

通过z=tan(x²+y²), x²+y²＜ $\frac{\pi}{2}$ 可知，面积有限的图形上的点的数目等势于实数的数目。

无穷集合的势

无穷集合的势是指在集合论中，某些无穷集合远远大于另一种无穷集合。无穷集合的势可用アレㇷ数(アレㇷスー旧译艾礼夫数)表示之。

ℵₙ	意味
ℵ₀	整数势, 亦名不连续势
ℵ₁	实数势, 亦名连续势, 空间势
ℵ₂	曲线势, 亦名点集势, 画像势

其中， $\mathrm{e^{\aleph_{n}}=\aleph_{n+1}}, n\ge0$ ，除此之外规定 $\mathrm{\aleph_{-n}=\aleph_{0}}$。

这样，对于殆完全数集合{aₙ | aₙ=2ⁿ}，其势为ℵ₋₁，由于其能与势为ℵ₀的正整数集合{aₙ | aₙ=n}建立如下映射

x	y
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
etc	etc
n	2ⁿ

所以殆完全数的数目等势于正整数，也就是ℵ₋₁=ℵ₀，由于费马数 $\mathrm{a_{n}=2^{2^{n}}+1}$ 中的n可以取到无穷大，所以费马数有无穷个，也就是费马数可以与正整数建立映射，所以ℵ₋₂=ℵ₀

对于实数，其可以写成【……∗∗.∗∗∗∗∗∗……】或者【……∗∗;∗∗∗∗∗∗……】(十二进制)的形式，由于进位制的最小基数为2，所以对于k＞1，有

$\mathrm{k^{\aleph_{n}}=e^{\aleph_{n}\ln(k)}=[e^{\aleph_{n}}]^{\ln(k)}=[\aleph_{n+1}]^{\ln(k)}=\aleph_{n+1}}$

由于k≥2，所以实数的数目为 $\mathrm{k^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}}$ 。

曲线的种类

曲线可以看成空间中点的集合，空间中的点有二种甚至多种状态，所以有

$2^{\aleph_{1}}=\aleph_{2}$

$\mathrm{{{\aleph_{1}}^{\aleph_{1}}}=e^{\aleph_{1}\ln(\aleph_{1})}=e^{\aleph_{1}\cdot\aleph_{0}}=e^{\aleph_{1}}=\aleph_{2}}$

这就是曲线势，也就是图画势。