水仙花数 - johanzumimvon/2 GitHub Wiki
水仙花数就是指进位制中，每位数字的位数次幂之和等于其自身的数。比如十二进制中，有如此等等水仙花数：
25=2²+5²=4+21=25
577=5³+7³+7³
668=6³+6³+8³
14765=1⁵+4⁵+7⁵+6⁵+5⁵
369862=3⁶+6⁶+9⁶+8⁶+6⁶+2⁶
2380293=2⁷+3⁷+8⁷+0⁷+2⁷+9⁷+3⁷
其中，0⁷=0·0·0·0·0·0·0=0。
同一进位制下，水仙花数有穷性的证明
不论是哪一种进位制，水仙花数都可以被计算机的暴力算法穷尽。水仙花数之所以有穷，是因为指数增长y=aˣ=eˣ ˡⁿ⁽ᵃ⁾可以发散到无穷大，使得y=kˣ−x(k−1)ˣ发散到正无穷大。
水仙花数的最大位数近似于y=kˣ−x(k−1)ˣ的第二个零点（除了二进制、三进制）。
水仙花数有穷多的证据 | y=kˣ−x(k−1)ˣ
不同进位制下水仙花数的数目
| 进位制 | 水仙花数的数目 |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 5 |
| 4 | 11 |
| 5 | 17 |
| 6 | 30 |
| 7 | 59 |
| 8 | 62 |
| 9 | 58 |
| 10 | 88 |
| 11 | 134 |
| 12 | 87 |
| 13 | 201 |
| 14 | 103 |
| 15 | 202 |
| 16 | 293 |
十二进制中的前24个水仙花数
| n | 第n个水仙花数的十进制写法 | 第n个水仙花数的十二进制写法 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 |
| 10 | 10 | ∗ |
| 11 | 11 | # |
| 12 | 29 | 25 |
| 13 | 125 | ∗5 |
| 14 | 811 | 577 |
| 15 | 944 | 668 |
| 16 | 1539 | ∗83 |
| 17 | 28733 | 14765 |
| 18 | 193084 | 938∗4 |
| 19 | 887690 | 369862 |
| 20 | 2536330 | ∗2394∗ |
| 21 | 6884751 | 2380293 |
| 22 | 17116683 | 58955∗3 |
| 23 | 5145662993 | ##7332295 |
| 24 | 25022977605 | 4∗24189999 |
其他进位制
二进制
1
三进制
1, 2, 12, 22, 122
也就是
1, 2, 5, 8, 17
四进制
1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303
也就是
1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243
五进制
1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, 1143204434402, 14421440424444
也就是
1, 2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113, 1874374, 338749352, 2415951874
六进制
1, 2, 3, 4, 5, 344, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035, 1053025020422, 1053122514003, 1435403205450, 1435403205451, 1450005114454, 2135254510352, 2145555022413, 2500150125455, 133024510545125, 13435022253535055, 15205355253553320, 15205355253553321, 105144341423554535
也就是
1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, 36140, 269458, 391907, 10067135, 2510142206, 2511720147, 3866632806, 3866632807, 3930544834, 4953134588, 5018649129, 6170640875, 124246559501, 4595333541803, 5341093125744, 5341093125745, 19418246235419
十进制
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914, 28116440335967, 4338281769391370, 4338281769391371, 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035, 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 449177399146038697307, 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943, 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093, 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938, 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765, 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295, 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915, 17333509997782249308725103962772, 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991, 1122763285329372541592822900204593, 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922, 1219167219625434121569735803609966019, 12815792078366059955099770545296129367, 115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401, 已没有更多水仙花数
十二进制
其中，【X】表示十；【E】表示十一。
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E, 25, X5, 577, 668, X83, 14765, 938X4, 369862, X2394X, 2380293, 58955X3, EE7332295, 4X24189999, 79003E307X, 4903X15X995, 4X446561XX6, 64508202EX3, 6E32875792X, 72709868E8X, E5X6586E049, E79238X38E3, EX70909E036, EX7584X9XX8, 7E38E60846803, 4029826639111E, 724106687E585E, 7593E3703X8E346, 8315X3E9E7X7652, E463870402XEX8E, 11692939925215X3, 6963788443EE6X87, 71263199E4879E29E43, 26532105935901094X8E, 643896373E63132EE610, 643896373E63132EE611, 91E6EX37E5E2395907X6, 2069E9481507492377719, 2620293539X21867386XE, 2870507436X364X15XE62, 3096XE0892X8209162X8X, 45791X819296E12E27X53, 61035E7E65684375498EX, 645E3539X07EX360880E9, 83771E9E01673XE1XE964, 9E4X42EE88552E80E3368, E73E359723EEE64126E27, 20E446X429978188986395, 225531X5437666X776566E, 3586944EX747E920X39987X4, 260055453E83538E5744348884, 221E3351383X6924E54171565069, 337839406880E85328E93631X8EX, 2577803E895038330E35E32785306X7, 25894E2929727835994701EX53179E6, 267EX8248E5E0616952121220X194X5, 33X6EE19246614126E32X34595E2923, 34X5E53EX3154E85X9768295622EX03, 4E9657XE0E46098142080EEX9437XE0, 4E9657XE0E46098142080EEX9437XE1, 1EX997236136XE0EX788X574814X726560, 1EX997236136XE0EX788X574814X726561, 1253553715X86X851X882041088E9888E35, 173168409X26156653E51X965431E8769E04, 2X5532X6E02105X1921EE353E2X1E6E93E48X10, 2X5532X6E02105X1921EE353E2X1E6E93E48X11, 102434015825787E1510924967E6321002E774440, 102434015825787E1510924967E6321002E774441, 106338439XE23771X82X96E412428X02E64558375, 14419E3894089683E7146110X060E906868452E59, 1460X58E16EE34588139971E557047238X4X12478, 146122093E69EX63X35069652129E5E8X21271044, 2067909536257238618E4E86X65E63EE0X30510E0, 2067909536257238618E4E86X65E63EE0X30510E1, 200E4X6E67E3430064319747100E70E0050XE8X140E, 11775E71382E98173E4314294891E94E6E6265980E59480EX67, 15079346X6E3E14EE56E395898E96629X8E01515344E4E0714E
The largest such number (15079346X6E3E14EE56E395898E96629X8E01515344E4E0714E) has 43 digits.