平面剪裁也叫欧氏剪裁、欧几里得式剪裁、ユㇰレイー伝式剪裁，欧几里得空间就是指能够被展成平面的空间，也就是满足平行公设的空间：过直线外的一点有且仅有一平行线。也就是在平面剪裁的衣服上，你能在上边作出三角形，其内角和为π弧度或者180度，也就是平角。

西服就不属于平面剪裁，西服是立体剪裁，也就是曲面剪裁、非欧剪裁，其属于非欧空间，在西服上边的某个地方会出现过测地线外的一点，有无数平行线（马鞍面几何，罗氏几何），或者没有平行线（球面几何、类球面几何、抛物面几何，黎曼几何），西服上的三角形的内角和会有时大于平角，有时小于平角。也许西服等等立体剪裁的衣服是西方人较早发现非欧几何的原因。事实上，非欧几何最早出现于阿拉伯的球面三角学，是为航行服务的。

几何在文言文是指【多少】，geometry应该被翻译作【形学】或者ゲオメㇳリー、各ﾞメㇳリー。后边会使用【形学】一词。

非欧几何中，曲面上的直线是指测地线。

欧几里得也叫ユㇰレイー伝ㇲ，意思是好的名誉。

有些曲面可以被展成平面，所以其依然满足欧几里得形学，比如圆柱侧面就可以被展开成平面，这是因为圆柱侧面朝z轴的方向是直的，事实上只要曲面上的所有直线相互平行，也就是曲面满足z=f(x)，使得曲面不受y取值的影响，这个曲面就满足欧几里得形学的第五公设。莫比乌斯圈、圆锥面虽然能展开成平面，但由于其不满足朝x轴或者y轴平行的性质，所以其存在不满足欧几里得形学的奇点或者奇线，比如圆锥面的顶点。球面 $\mathrm{z=\sqrt{1−x^{2}−y^{2}}}$ 、抛物面z=k(x²+y²)满足黎曼几何是因为球面向x轴的弯曲方向与向y轴的弯曲方向相同；马鞍面z=k(x²−y²)满足罗氏几何是因为马鞍面朝x轴的弯曲方向与朝y轴的弯曲方向相反。

西服的肩部、胸部满足有着类似于球面的性质，满足黎曼形学；腰部有着类似于马鞍面的性质，满足罗氏形学；袖子类似于圆锥面，有一些满足欧几里得形学但不完全。也就是在西服的肩部、胸部，过测地线外的一点不能作平行线，三角形的内角和大于平角；在腰部过测地线外的一点能作无穷多条平行线，三角形的内角和小于平角；如果不考虑圆锥面的奇点效应的影响（第六公设），在袖子上过测地线外一点有且仅有一条直线。

球面上的三角形的内角和小于平角，其面积为(イ+ロ+ハ−π)r²，π≈355÷113，十二进制是π≈257÷95，其中r是内接圆半径，イ、ロ、ハ是球面上的三角形的三个角的弧度数

一个曲线，如果无法被展开成平面，则不存在全等三角形以外的相似三角形。球面上的全等三角形可以通过【边边边】、【边角边】、【角边角】、【角角角】（因为球面固有曲率所致）四种方法来判定三角形的全等；

平面上三角形既可以全等，也可以相似，平面上的三角形的全等可以通过【边边边】、【边角边】、【角边角】、直角三角形的直角边与斜边来判定；二角或者三角相等则可以判断相似三角形；对应边或者对应曲线的类位处切线的平行可以判定平面相似图形的位似。

位似是指二个相似图形的边或者曲线的对应的切线总是满足平行或者重合所形成的位置关系。位似符号可以写成上边一个倒三角▽与下边一个三角△共用一个顶点的样子。

汉服、韩服、和服👘等等平面剪裁衣物，其每一部分必定会被展成平面，虽然有时存在圆锥面顶点引起的奇点效应，尤其是韩服下边的上窄下宽部分，还有汉服、和服👘、韩服的y型衣襟（イコライカユーキュㇺ），但其依然可以使用欧几里得形学中的绝大多数命题来描述，个别受奇点效应影响的性质可以使用特殊的定理来描述，比如圆锥面上经过一条直的测地线可以与自身相交，这个性质可以被看作欧几里得空间的第六公设：一条测地线的自相交问题、二条测地线是否只有一个交点。

欧氏形学的四公理加二公设

第六公设是ユハㇴツミㇺヲㇴ加进去的，是因为我发现圆锥面上直线可以自交，圆柱面上二条直线可以形成无穷多个交点。所以为了数学的进一步研究，才想到的。第六公设可能是许多人都没想到的！因为我发现第六公设无法被平面上的前五个公理、全等公理所证明。

公理一

从一点向另一点可以引一条直线或者测地线。（二点确定一条直线或者测地线）

公理二

任意线段、射线能被无限延伸成一条直线（或者测地线）。

公理三

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

公理四

所有直角都相等。等于垂直线的夹角，垂直是指一条直线与另一条直线相交，且它们构成的任意相邻两个角相等，那么这两条直线相互垂直。

第五公设（平行公设，三角形公设）

过直线外的一点有且仅有一条平行线。（无数条平行线对应马鞍面；没有平行线对应球面、抛物面）

第六公设（我提出的，独立公设）

一条直线自身无法形成交点（直线不能自交），二条直线最多只能确定一个交点。（圆锥面上一条测地线可以自交；圆柱侧面上二条测地线可以形成多个交点）

同时满足第五公设和第六公设的曲面或者平面被称为真欧几里得面，比如z=0(平面)、z=f(x)、z=ln(x)、z=2x+1，由于其在y方向是真的，所以这些曲面完全满足第六公设；

只满足第五公设而不满足第六公设的曲面叫做准欧几里得面，比如圆锥面、圆柱面，其中圆锥面会出现直线自交，圆柱面中二条直线可以形成无穷多个交点； 不满足第五公设的曲面叫做真曲面，比如球面、抛物面、马鞍面。其中球面、抛物面属于黎曼曲面，马鞍面属于罗氏曲面。

十万个为什么之为什么正多面体只有五个

正多面体可以看作正多边形在三维空间中形成的有限密铺，也就是黎曼密铺，这种密铺至少需要3个正多边形与顶点相邻，但这些相邻的角的大小必须小于周角的大小。

三个正三角形相邻一个顶点可以被密铺成正四面体，记作[3,3,3]；四个正三角形相邻一个顶点可以被密铺成正八面体，记作[3,3,3,3]；五个正三角形相邻一个顶点可以被密铺成正二十面体，记作[3,3,3,3,3]，但是六个正三角形相邻一个顶点形成的是正三角形密铺，属于平面密铺。

三个正方形相邻一个顶点可以被密铺成正方体，记作[4,4,4]，四个正方形相邻一个顶点则会形成正方形密铺，属于平面密铺。

三个正五边形相邻一个顶点可以形成正十二面体，记作[5,5,5]，但是四个正五边形形成的则是罗氏面上的正五边形密铺。

所以正多面体只有五种。

罗氏形学

罗氏形学是非欧几里德几何的一种特例。与欧几里德几何的差别在于第五条公理（公设）－平行公设。在欧几里德几何中，若平面上有一条直线R和线外的一点P，则存在唯一的一条线满足通过P点且不与R相交（即R的平行线）。但在双曲几何中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过P点，并不与R相交，因此它违反了平行公设。然而，取代欧几里德几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处，仍可以推得一系列属于它的定理，这也说明了平行公设独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得平行公设。

到目前为止，数学家对双曲几何中平行线的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义。这里定义两条逐渐靠近的线为渐近线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线，它们互相超平行，并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行。双曲几何还有一项性质，就是三角形的内角和小于一个平角（180°）。在极端的情况，三角形的三边长趋近于无限，而三内角趋近于0°，此时该三角形称作理想三角形。

双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。

罗氏形学与欧氏形学的不同

欧式几何：
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以作且仅能作一个圆。

罗式几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆。

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和大众所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用大众习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何，便是正确的。

平行公设（三角形公设）

平行公设（英语：Parallel postulate），也称为欧几里得第五公设，因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说：

如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。（士大夫评论：这其实就是对三角形的某一侧的形象描述！第五公设应该叫做三角形公设）

假定所有欧几里得公设（当中包括平行公设）都成立的几何称为欧几里得几何。假定平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何，也就是只假设前四条公设的，称为仿射几何这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。

等价命题

很多与平行公设等价的命题，似乎与平行线无关。有些性质更看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题：

三角形内角和为一平角。
所有三角形的内角和都相等。
存在一对相似但不全等的三角形。（相似三角形）
所有三角形都有外接圆。
若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。也就是矩形，∑=イロ，L=2イ+2ロ=2(イ+ロ)。
存在一对等距的直线。（平面上平行线的本德）
若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。