可去间断点

在数学中, 经常会遇到这样的函数, 比如蓝紫色的 $\mathrm{y=\frac{6x}{3x}=2}$ ; 黄绿色的 $\mathrm{y=x^{0}=1}$ ; 灰色的 $\mathrm{y=\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1}$ ; 蓝白色的 $\mathrm{y=\frac{\sin{x}}{x}=1+\sum\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}$ . 可以看出, 如果用一般方法处理这些函数, 会在一些地方出现没有取值的现象, 比如蓝紫色、黄绿色、蓝白色在y|ₓ₌₀处没有取值; 灰色在y|ₓ₌₁处没有取值; 但是如果利用最右边的等价形式,又得到了 y|ₓ₌₀、y|ₓ₌₁处的取值, 另外, 通过极限思想, 也能推测出y|ₓ₌₀、y|ₓ₌₁. 这样的间断点被称为可去间断点, 通过其等价形式、极限, 可以算出其取值.

这可以看作解析延拓的樸素形式.

对解析延拓的理解

$\mathrm{\frac{1}{1−x}=1+\sum x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+etc}$

对于發散的1+2+4+8+etc，其有

1+2+4+8+etc= $\mathrm{\frac{1}{1−2}=−1}$

1+3+9+etc= $\frac{1}{1−3}=−\frac{1}{2}$

$\mathrm{\frac{1}{1+x}=1+\sum (−x)^{n}=1−x+x^{2}−x^{3}+x^{4}−x^{5}+etc}$

1−1+1−1+1−1+etc= $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

1−2+4−8+etc= $\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$

1−0+0−0+0−0+etc= $\frac{1}{1+0}=1$

自洽性验证

4⁻¹

4⁻¹+4⁻²+4⁻³+4⁻⁴+4⁻⁵+etc

=(1+4⁻¹+4⁻²+4⁻³+4⁻⁴+4⁻⁵+etc)−1

= $\frac{1}{1−\frac{1}{4}}−1$

= $\frac{1}{3}$

2⁻¹

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+etc$

$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+etc)−1$

$=\frac{1}{1−\frac{1}{2}}−1$

$=1$

−2⁻¹

$\frac{1}{2}−\frac{1}{4}+\frac{1}{8}−etc$

$=(−1+\frac{1}{2}−\frac{1}{4}+\frac{1}{8}−etc)+1$

$=−[(1−\frac{1}{2}+\frac{1}{4}−\frac{1}{8}+etc)−1]$

$=−[\frac{1}{1+\frac{1}{2}}−1]$

$=\frac{1}{3}$

η(x)与ζ(x)的关联

η(x)=(1−2·2⁻ˣ)ζ(x)=(1−2¹⁻ˣ)ζ(x)

ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$

证明

η(x)

=ζ(x)−2[2⁻ˣ+4⁻ˣ+6⁻ˣ+8⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2[(2·1)⁻ˣ+(2·2)⁻ˣ+(2·3)⁻ˣ+(2·4)⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2[2⁻ˣ·1+2⁻ˣ·2⁻ˣ+2⁻ˣ·3⁻ˣ+2⁻ˣ·4⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2·2⁻ˣ[1+2⁻ˣ+3⁻ˣ+4⁻ˣ+5⁻ˣ+6⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2·2⁻ˣζ(x)

=ζ(x)−2¹⁻ˣζ(x)

=[1−2¹⁻ˣ]ζ(x)

η(x)=(1−2¹⁻ˣ)ζ(x)

反过来就是

ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$

η(0)、ζ(0)

η(0)+η(0)=

2η(0)=1

η(0)= $\frac{1}{2}$

ζ(0)= $\frac{\eta(0)}{1−2^{1+0}}=−\frac{1}{2}$

η(−1)、ζ(−1)

η(−1)+η(−1)=

2η(−1)=η(0)

2η(−1)= $\frac{1}{2}$

η(−1)= $\frac{1}{4}$

ζ(−1)= $\frac{\eta(−1)}{1−2^{1+1}}=−\frac{1}{12}=−0;1$

其中，η读作エータ；ζ读作ﾁｪータ

自洽算法

设x=1+3+5+7+9+etc，则有0=x−x

x−x=

=1+2ζ(0)

2ζ(0)=−1

ζ(0)= $−\frac{1}{2}$

对于x=1+3+5+7+9+etc，则有：

x

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+etc)−(2+4+6+8+etc)

=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+etc)−2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+etc)

=ζ(−1)−2ζ(−1)

=−ζ(−1)

= $\frac{1}{12}$

=0;1(十二进制)

η(−2)、ζ(−2)

η(−2)=1−4+9−16+25−36+etc

2η(−2)=1−3+5−7+9−11+etc

4η(−2)=1−2+2−2+2−2+etc

4η(−2)=1−2η(0)=0

η(−2)=0

ζ(−2)= $\frac{0}{1−2^{1+2}}$ =0

η(−3)、ζ(−3)

η(−3)=1−8+27−64+125−216+etc

2η(−3)=1−7+19−37+61−91+etc

4η(−3)=1−6+12−18+24−30+etc

4η(−3)

=1−6η(−1)

= $1−\frac{6}{4}$

= $−\frac{1}{2}$

η(−3)= $−\frac{1}{8}$

ζ(−3)= $\frac{\eta(−3)}{1−2^{1+3}}=\frac{1}{120}$

η(−4)、ζ(−4)

η(−4)=1−16+81−256+625−1296+etc

2η(−4)=1−15+65−175+369−671+etc

4η(−4)=1−14+50−110+194−302+etc

8η(−4)=1−13+36−60+84−108+etc

16η(−4)=1−12+23−24+24−24+etc

16η(−4)

=−12+24−24+24−24+etc

=−12+24η(0)

=0

η(−4)=0

ζ(−4)= $\frac{0}{1−2^{1+4}}$ =0

η(−5)、ζ(−5)

η(−5)=1−32+243−1024+3125−7776+etc

2η(−5)=1−31+211−781+2101−4651+etc

4η(−5)=1−30+180−570+1320−2550+etc

8η(−5)=1−29+150−390+750−1230+etc

16η(−5)=1−28+121−240+360−480+etc

16η(−5)=−26+120−240+360−480+etc

16η(−5)

=−26+120(1−2+3−4+5−6+etc)

=−26+120η(−1)

=−26+30

=4

η(−5)= $\frac{1}{4}$

ζ(−5)= $\frac{\eta(−5)}{1−2^{1+5}}=−\frac{1}{252}$

η(−6)、ζ(−6)

η(−6)=1−64+729−4096+15625−46656+etc

2η(−6)=1−63+665−3367+11529−31031+etc

4η(−6)=1−62+602−2702+8162−19502+etc

8η(−6)=1−61+540−2100+5460−11340+etc

16η(−6)=1−60+479−1560+3360−5880+etc

32η(−6)=1−59+419−1081+1800−2520+etc

64η(−6)=1−58+360−662+719−720+etc

64η(−6)=−360+720−720+720−720+etc

64η(−6)

=−360+720η(0)

=0

η(−6)=0

ζ(−6)= $\frac{0}{1−2^{1+6}}$ =0

η(−7)、ζ(−7)

η(−7)=1−128+2187−16384+78125−279936+823543−2097152+etc

2η(−7)=1−127+2059−14197+61741−201811+543607−1273609+etc

4η(−7)=1−126+1932−12138+47544−140070+341796−730002+etc

8η(−7)=1−125+1806−10206+35406−92526+201726−388206+etc

16η(−7)=1−124+1681−8400+25200−57120+109200−186480+etc

32η(−7)=1−123+1557−6719+16800−31920+52080−77280+etc

64η(−7)=1−122+1434−5162+10081−15120+20160−25200+etc

128η(−7)=1−121+1312−3728+4919−5039+5040−5040+etc

128η(−7)=2384−5040+5040−5040+5040−etc

128η(−7)

=2384−5040η(0)

=−136

η(−7)=−1.0625

ζ(−7)= $\frac{−1.0625}{1−2^{1+7}}=\frac{1}{240}$

η(−8)、ζ(−8)

η(−8)=1−256+6561−65536+390625−1679616+5764801−16777216+43046721−100000000+etc

256η(−8)=1−248+4541−20160+35779−40072+40319−40320+40320−40320+etc

256η(−8)=−20160+40320−40320+40320−40320+etc

256η(−8)=−20160+40320η(0)=0

η(−8)=0

ζ(−8)= $\frac{0}{1−2^{1+8}}=0$

η(−9)、ζ(−9)

η(−9)=1−512+19683−262144+1953125−10077696+etc

512η(−9)=1−503+15111−103345+259535−347769+362377−362879+362880−362880+362880−362880+362880−362880+etc

512η(−9)=185408−362880+362880−362880+362880−362880+362880−362880+etc

512η(−9)

=185408−362880η(0)

=3968

η(−9)=7.75

ζ(−9)= $\frac{\eta(−9)}{1−2^{1+9}}=−\frac{1}{132}$

η(−10)、ζ(−10)

1024η(−10)=1−1014+48854−504046+1814400−3124754+3579946−3627786+3628799−3628800+3628800−3628800+3628800−3628800+etc

1024η(−10)=−1814400+3628800−3628800+3628800−3628800+3628800−3628800+etc

1024η(−10)

=−1814400+3628800η(0)

=0

η(−10)=0

ζ(−10)= $\frac{0}{1−2^{1+10}}$ =0

解析延拓的规律

斐波那契数列 | ﾌｲボナチ数列

1+1+2+3+5+8+13+21+34+etc

解：设x=1+1+2+3+5+8+13+21+34+etc，则

x+(−x)=1+0+1+1+2+3+5+8+13+etc

0=1+0+1+1+2+3+5+8+13+etc

0=1+0+x

x+1=0

x=−1

ﾌｲボナチ数列嚮负数的延伸

1−1+2−3+5−8+13−21+etc

令v=1−1+2−3+5−8+13−21+etc

2v=1+0+1−1+2−3+5−8+13−21+etc

2v=1+0+v

v=1

ﾌｲボナチ数列在整个整数上的求和

x+v=−1+1=0

也就是

etc+34−21+13−8+5−3+2−1+1+0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+etc=0

其他的规律

1+2+4+8+etc=−1

$\mathrm{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+etc=1}$

也就是

etc+2⁻⁵+2⁻⁴+2⁻³+2⁻²+2⁻¹+1+2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+etc=0

事实上，对于etc+x⁻⁵+x⁻⁴+x⁻³+x⁻²+x⁻¹+x⁰+x¹+x²+x³+x⁴+x⁵+etc，有

etc+x⁻⁵+x⁻⁴+x⁻³+x⁻²+x⁻¹+x⁰+x¹+x²+x³+x⁴+x⁵+etc

=[1+x¹+x²+x³+x⁴+x⁵+etc]+[x⁻¹+x⁻²+x⁻³+x⁻⁴+x⁻⁵+etc]

=[1+x¹+x²+x³+x⁴+x⁵+etc]+[1+x⁻¹+x⁻²+x⁻³+x⁻⁴+x⁻⁵+etc]−1

= $\mathrm{\frac{1}{1−x}+\frac{1}{1−x^{−1}}−1}$

=0

结论

解析延拓定理

对于整数数列，如果其能从正整数延伸到0、负整数（不一定是整数），则数列在整数域上的所有数相加的解析延值为0。

例

etc+x⁻⁵+x⁻⁴+x⁻³+x⁻²+x⁻¹+x⁰+x¹+x²+x³+x⁴+x⁵+etc

= $\mathrm{\frac{1}{1−x}+\frac{1}{1−x^{−1}}−1}$

=0

etc+34−21+13−8+5−3+2−1+1+0+1+1+2+3+5+8+13+21+34+etc

=−1+1

=0

etc−6−5−4−3−2−1+0+1+2+3+4+5+6+etc

=−[1+2+3+4+5+6+etc]+0+[1+2+3+4+5+6+etc]

=−ζ(−1)+0+ζ(1)

=0

etc−9−7−5−3−1+0+1+3+5+7+9+etc

=−[1+3+5+7+9+etc]+[1+3+5+7+9+etc]

=0

ζ(−2n)

由此结论，可以得知：

ζ(−2n)=0

这是因为，在整数域内，偶次方数不能是负数：

etc+9+4+1+0+1+4+9+etc

=ζ(−2)+0+(−2)

=0

ζ(−2n)+0+ζ(−2n)=0

2ζ(−2n)=0

ζ(−2n)=0

对于y= $\mathrm{\frac{1}{1+x^{2}}}$ ，有：

|x|＜1时，y= $\mathrm{1+\sum (−1)^{n}x^{2n}}$

|x|=1时，y= $\frac{1}{2}$

|x|＞1时，y= $\mathrm{\sum (−1)^{n+1}x^{−2n}}$

对于y= $\mathrm{\frac{1}{1−x^{2}}}$ ，有：

|x|＜1时，y= $\mathrm{1+\sum x^{2n}}$

|x|＞1时，y= $\mathrm{−\sum x^{−2n}}$

ζ(1)

从虚数方向逼近ζ(1)，可以得知ζ(1)的实部为γ。

通常认为ζ(1)=∞，或者ζ(1)=γ±∞，但是在深度解析延拓的情况下，可知ζ(1)=γ

y=tan x 的展开式

$\mathrm{y=x+\frac{2x^{3}}{3!}+\frac{16x^{5}}{5!}+\frac{272x^{7}}{7!}+\frac{7936x^{9}}{9!}+\frac{353792^{11}}{11!}}$

十二进制版狄利克雷η函数表

对于y=η(x)，有

η(1)=ln 2=0;839912483369∗#

η(0)=0;6

η(−1)=0;3

η(−2)=0

η(−3)=−0;16

η(−4)=0

η(−5)=0;3

η(−6)=0

η(−7)=−1;09

η(−8)=0

η(−9)=7;9

η(−∗)=0

η(−#)=−10971;4663#58063#5806

η(−10)=0

η(−11)=42699;3

η(−12)=0

十二进制版黎曼ζ函数表

对于y=ζ(x)，有

ζ(1)=±∞+γ=±∞+0;6#15188∗6760#

ζ(0)=−0;6

ζ(−1)=−0;1

ζ(−2)=0

ζ(−3)= $\frac{1}{∗0}$ =0;01249724972497

ζ(−4)=0

ζ(−5)= $−\frac{1}{190}$ =−0;006∗35186∗3518

ζ(−6)=0

ζ(−7)= $\frac{1}{180}$ =0;00724972497249

ζ(−8)=0

ζ(−9)=−1÷#0=−0;0111111111111

ζ(−∗)0

ζ(−#)=497÷16#60=0;030546902∗21#5

ζ(−10)=0

ζ(−11)=−0;1

ζ(−12)=0

草稿

维基百科上出的错误

设畢弗(petfut，parabola，ペㇳフㇳ)的方程为

$\mathrm{y=ax^2+bx+c}$

则有

0.25a+0.5b+c=0

2.25a+1.5b+c=1

6.25a+2.5b+c=3

相减可得

4a+b=2

6a+2b=3

亦即

4a+b−2=0

6a+2b−3=0

由キラㇺ公式可得

a=0.5

b=0

代入原式可得

c=−0.125

得到抛物线拟合自然数求和的方程

蓝紫色部分为 $\mathrm{y=0,x≤0;y=\frac{[floor(x)]^{2}+floor(x)}{2}, x>0}$

黄绿色部分为 $\mathrm{y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}}$

$\mathrm{y=0.5x^2-0.125}$

由此可知维基百科的平滑渐近线法是错误的，会得到错误结论 $-\frac{1}{8}$ ，与ζ(−1)= $-\frac{1}{12}$ 不相符。

其他函数的解析延拓

$\mathrm{x=\sqrt[y]{y}}$

$\mathrm{y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}}$

$\mathrm{y=x^{x}}$

$\mathrm{y=\frac{1}{x!}}$

$\mathrm{y=x!}$