空间解析式 - johanzumimvon/1 GitHub Wiki
曼哈顿空间 | 街道空间 | 计程车距离 | マㇴハタㇴ空间 | タㇰシ之距
$\Delta l=\Delta x + \Delta y$
欧氏平面空间定義式(ユㇰレイーデㇲ空间)
$\mathrm{(\Delta l)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$
相当于勾股定理(ココ定理, ココセオーレーㇺ)
a² + b² = c²
第一幅图 | 斜正方形内部面积
c² = 4·(ab÷2) + (b−a)²
c² = 2ab + b² −2ab + a²
c² = b² + a²
即a² + b² = c²
第二幅图 | 蓝色部分面积
c² = (a+b)² − 4·(ab÷2)
c² = a² + 2ab + b² − 2ab
c² = a² + b²
即a² + b² = c²
第五幅图 蓝色部分面积
$\mathrm{\frac{1}{2}c^{2}=(a+b)\cdot(a+b)÷2−2\cdot\frac{1}{2}ab}$
$\mathrm{\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+2ab)−ab}$
$\mathrm{\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})}$
即a²+b²=c²
比如第四幅图(a² + b²)展开之後, 会变成第二幅图(c²).
展开法证明a² + b² = c²
平面空间距离
$\mathrm{l=\sqrt{(x_{ロ}−x_{イ})^{2}+(y_{ロ}−y_{イ})^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$
中点公式
$\mathrm{x=\frac{x_{イ}+x_{ロ}}{2}}$
$\mathrm{y=\frac{y_{イ}+y_{ロ}}{2}}$
斜率公式
$\mathrm{k=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{y_{ロ}−y_{イ}}{x_{ロ}−x_{イ}}}$
平行
k₁=k₂
垂直
k₁k₂=−1
直线方程
点斜式
$\mathrm{y_{ロ}−y_{イ}=k(x_{ロ}−x_{イ})}$
$\mathrm{x=x_{イ}}$
$\mathrm{y=y_{イ}}$
可由斜率公式直接得到
斜截式 | 一次函数形式
y=kx+h
两点式
$\mathrm{\frac{y−y_{イ}}{y_{ロ}−y_{イ}}=\frac{x−x_{イ}}{x_{ロ}−x_{イ}}}$
截距式
$\mathrm{\frac{x}{イ}+\frac{y}{ロ}=1}$
一般式
Ax+By+c=0
直线交点
对于二元一次方程组或者二条直线，也就是
$\mathrm{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$
$\mathrm{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$
其有解、交点，也就是キラㇺ公式：
$\mathrm{x=\frac{b_{1}c_{2}−b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}}$
$\mathrm{y=−\frac{a_{1}c_{2}−a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}}}$
点线距离
对于(イ,ロ)到Ax+By+C，有距离
$\mathrm{l=\frac{|A\cdotイ+B\cdotロ+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}$
平行线距离
对于Ax+By+C₁、Ax+By+C₂，有距离
$\mathrm{l=\frac{|C_{2}−C_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}$
抛物线方程
$\mathrm{y=\frac{1}{2p}(x−b)^{2}+h}$
其他曲线的方程
反射
y = k|x−b|
反射定律
入射光与反射光位于同一平面
反射光与入射光位于两侧
入射角等于反射角
反射定律的解析式形式
y = k|x − b|
点对于任意直线的镜像(对称)
直线方程为
ホx + ヘy + ト = 0
对于点(m, n), 其关于直线的对称点的坐标为
$\mathrm{x=m−\frac{2ホ(ホm+ヘn+ト)}{ホ^{2}+ヘ^{2}}}$
$\mathrm{y=n−\frac{2ヘ(ホm+ヘn+ト)}{ホ^{2}+ヘ^{2}}}$
高考: 入射光(入射直线)对于任何直线的反射光方程
先通过一元二次方程求入射光与反射面的交点(j, k), 然後由入射光上的某点求出关于反射面的镜像点(m, n)
如果j=m, 则反射线的方程为x=j; 如果k=n, 则反射线的方程为y=k, 其他情况则由两点式求出反射线.
全反射
折射定律
入射光与折射光位于同一平面
折射光与入射光位于两侧
入射角的正弦与折射角的正弦之比是常数, 即 $\mathrm{\frac{n_{2}}{n_{1}}}$或者n₂
其中, 真空的折射率为1; 空气的折射率为1.00029(1ﾗ0006).
对于全反射, 其临界角为 $\mathrm{\arcsin(\frac{n_{反射面下边}}{n})}$; 如果是真空中的全反射物质, 则临界角为 $\mathrm{\arcsin(\frac{1}{n})}$; 反射光与反射面的夹角为 $\mathrm{\frac{π}{2}−\arcsin(\frac{1}{n})}$, 反射解析式为
$\mathrm{y = −\tan[\frac{π}{2}−\arcsin(\frac{1}{n})]|x − b|}$
比如对于空气, 其夹角为1.38度(可以看到地平线下边1.38度范围的天体, 相当于182.76度); 其方程为
$\mathrm{y = −0.024085|x − b|}$
折射率与全反射光与反射面斜率的关系
| 物质 | 折射率 | 临界斜率 |
|---|---|---|
| 空气 | 1ﾗ0006 | 0ﾗ036 |
| 水 | 1ﾗ4 | 0ﾗ∗7 |
| 1ﾗ5 | 1 | |
| 苯 | 1ﾗ6 | 1ﾗ15 |
| 普通玻璃 | 1ﾗ6～1ﾗ66 | 1ﾗ15～1ﾗ2 |
| 2 | 1ﾗ895 | |
| 二氧化锆 | 1.92～2.2 | 1ﾗ78～1ﾗ#6 |
| 3 | 2ﾗ∗ | |
| 锗 | 4 | 3ﾗ∗6 |
光路可逆
对于光的直线传播(遇引力则曲线传播, 即使仅仅按照经典力学)、反射过程、折射过程, 将入射光与离开光对调, 路径不会变化.
这个过程不包括黑洞吞噬光.
$\mathrm{r=\frac{2kM}{c^{2}}}$
圆与椭圆
由 $\mathrm{l=\sqrt{(x_{ロ}−x_{イ})^{2}+(y_{ロ}−y_{イ})^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$可知
圆(等距曲线)的方程为 $\mathrm{r=\sqrt{(x−x_{0})^{2}+(y−y_{0})^{2}}}$
即 $\mathrm{(x−x_{0})^{2}+(y−y_{0})^{2}=r^{2}}$
对于椭圆(扁圆), 则有 $\mathrm{\frac{(x−x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y−y_{0})^{2}}{b^{2}}=1}$
圆与扁圆的博物馆
撥弨
$\mathrm{y=\frac{k}{x}}$
$\mathrm{±[\frac{(x−x_{0})^{2}}{a^{2}}−\frac{(y−y_{0})^{2}}{b^{2}}]=1}$