首先, 规定一周角为100ト(十二进制), 一平角为60ト, 一直角为30ト, 一斜角为16ト, 则有

100ト=360°（360度）

100ト=2π弧度.

1ト=0ﾗ06349416967弧度

因此ト数很小时有

sin(xト)≈0ﾗ06349416967x

1弧度= $\mathrm{\frac{180°}{π}}$

比如说, 硫酸根离子或者甲烷构型的分子, 其键角为37ﾗ95661ト≈38ト.

角度	正弦	略	正切
0ト	0	0	0
1ト	0ﾗ06346	0ﾗ06	0ﾗ06
2ト	0ﾗ10673	0ﾗ11	0ﾗ11
3ト	0ﾗ16967	0ﾗ17	0ﾗ17
4ト	0ﾗ21009	0ﾗ21	0ﾗ21
5ト	0ﾗ27201	0ﾗ27	0ﾗ28
6ト	0ﾗ3132∗	0ﾗ31	0ﾗ33
7ト	0ﾗ37375	0ﾗ37	0ﾗ39
8ト	0ﾗ41302	0ﾗ41	0ﾗ44
9ト	0ﾗ47134	0ﾗ47	0ﾗ50
∗ト	0.50∗35	0ﾗ51	0ﾗ57
#ト	0ﾗ565∗9	0ﾗ56	0ﾗ63
10ト	0ﾗ60000	0ﾗ60	0ﾗ6#
11ト	0ﾗ654554	0ﾗ65
12ト	0ﾗ6∗7182	0ﾗ6#
13ト	0ﾗ737#3	0ﾗ74
14ト	0ﾗ7868∗	0ﾗ79
15ト	0ﾗ81350	0ﾗ81
16ト	0ﾗ859∗7	0ﾗ86
17ト	0ﾗ8∗202	0ﾗ8∗
18ト	0ﾗ92388	0ﾗ92
19ト	0ﾗ962#0	0ﾗ96
1∗ト	0ﾗ99#5#	0ﾗ9∗
1#ト	0ﾗ∗1547	0ﾗ∗1
20ト	0ﾗ∗486	0ﾗ∗5
21ト	0ﾗ∗789	0ﾗ∗8
22ト	0ﾗ∗∗612	0ﾗ∗#
23ト	0ﾗ#1057	0ﾗ#1
24ト	0ﾗ#3396	0ﾗ#34
25ト	0ﾗ#5403	0ﾗ#54
26ト	0ﾗ#71153	0ﾗ#71
27ト	0ﾗ#8706	0ﾗ#87
28ト	0ﾗ#998#8	0ﾗ#9∗
29ト	0ﾗ#∗927	0ﾗ##	7ﾗ72
2∗ト	0ﾗ##551	0ﾗ##5	#ﾗ52
2#ト	0ﾗ##∗432	0ﾗ##∗	1∗ﾗ∗∗
30ト	1	1

n	$\mathrm{\sqrt{n}}$
φ²	1ﾗ75
φ	1ﾗ332
0	0
1	1
2	1ﾗ4#7917
3	1ﾗ894#98
4	2
5	2ﾗ2∗
6	2ﾗ548875
#	3ﾗ397165
10	3ﾗ569#74

n	eⁿ
−∞	0
−6	0ﾗ0043
−5	0ﾗ00#8
−4	0ﾗ0278
−3	0ﾗ0720
−2	0ﾗ175∗
−1	0ﾗ44#8
0	1
1	2ﾗ875236
2	7ﾗ4803
3	18ﾗ103∗
4	46ﾗ7217
5	104ﾗ4#5#
6	297ﾗ518#
7	774ﾗ7721

n	ln(n)
1	0
2	0ﾗ8399
3	1ﾗ1225
4	1ﾗ4776
5	1ﾗ7391
6	1ﾗ9602
7	1ﾗ#426
8	2ﾗ0#53
9	2ﾗ244∗
∗	2ﾗ376∗（2.30258509）
#	2ﾗ4937
10	2ﾗ599#035#8169
11	2ﾗ6943
12	2ﾗ7803
13	2ﾗ85#6
14	2ﾗ9330
15	2ﾗ9##∗
16	2ﾗ∗827
17	2ﾗ#400
18	2ﾗ##47
19	3ﾗ064#
1∗	3ﾗ1114
1#	3ﾗ1762
20	3ﾗ2178
0ﾗ#	−0ﾗ1064326#

n	10ⁿ
−∞	0
0	1
0ﾗ1	1ﾗ29
0ﾗ2	1ﾗ62
0ﾗ3	1ﾗ∗4
0ﾗ4	2ﾗ36
0ﾗ5	2ﾗ9∗
0ﾗ6	3ﾗ57
0ﾗ7	4ﾗ32
0ﾗ8	5ﾗ2#
0ﾗ9	6ﾗ54
0ﾗ∗	7ﾗ#2
0ﾗ#	9ﾗ91
1	10

n	lγ(n)
1	0
2	0ﾗ342
3	0ﾗ538
4	0ﾗ684
5	0ﾗ793
6	0ﾗ87∗
7	0ﾗ949
8	0ﾗ∗06
9	0ﾗ∗74
∗	0ﾗ#15
#	0ﾗ#6#6
10	1
11	1ﾗ0478
12	1ﾗ08#
13	1ﾗ10#
14	1ﾗ148
15	1ﾗ182
16	1ﾗ1#6

n	lg(n)
1	1
2	0.3
3	0.48
4	0.6
5	0.7
6	0.78
7	0.845
8	0.9
9	0.96
10	1
11	1.04
12	1.08
13	1.11
14	1.145
15	1.18

	数值	意味
第一	7900卩	环绕地球
第二	11200卩	逃出地球
第三	16700卩	从地球逃出太阳系
第四	525000卩	逃出银河系
第五	2250000卩

由嚮心加遬度

$\mathrm{a=\frac{v^{2}}{r}}$可得

如果重力加遬度充当张永峰嚮心加遬度, 则有

$\mathrm{g=\frac{v^{2}}{r}}$

环绕遬度为

$\mathrm{g=\frac{kM}{r^{2}}}$

$\mathrm{v=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{kM}{r}}}$

由

$\mathrm{y=-\frac{k}{x}}$

$\mathrm{y'=\frac{k}{x^{2}}}$

得

$\mathrm{\int\frac{k}{x^{2}}dx=-\frac{k}{x}}$

遂有

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^{2}=\int_{r}^{\infty}\frac{kmM}{r^{2}}dr}$

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{kmM}{r}}$

$\mathrm{v=\sqrt{\frac{2kM}{r}}=\sqrt{2gr}}$

本来, 在日地距离, 要脱离太阳引力所需的初始速度为42100卩, 但地球绕太阳公转时令地面所有物体已具有29800卩的初始速度, 故此若沿地球公转方向发射，只需在脱离地球引力以外额外再加上适当的动能.

即

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}}$

v₁=11200卩

v₂=42100卩−29800卩

可得

$\mathrm{v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$

v=16700卩

其他星球的逃脱太阳系的遬度

星球	数值
火星	11200卩

$\mathrm{r=\frac{2kM}{c^{2}}}$

推导:

由第二宇宙遬度可知

$\mathrm{v=\sqrt{\frac{2kM}{r}}}$

将c代入v, 即可得黑洞的史瓦西半径.

$\mathrm{c=\sqrt{\frac{2kM}{r}}}$

$\mathrm{c^{2}=\frac{2kM}{r}}$

$\mathrm{r=\frac{2kM}{c^{2}}}$

引力助推加遬

引力弹弓, 又名引力助推, 绕天体而变轨, 是利用行星或其他天体的相对运动和引力改变飞行器的轨道和速度，以此来节省燃料、时间和计划成本。重力助推既可用于加速飞行器，也能用于降低飞行器速度。

从天体後边变轨会使遬度变为(v+2u); 从天体前边变轨会使遬度变为(v−2u); 其中, u为天体的运动遬度.

由于牛顿第三定律, 可得到动量守恒定律, 从天体後边变轨会使飞行器加速, 而天体也会受到後边飞行器的引力并且减速, 也就是天体的动能传给了飞行器; 从天体前边变轨会使飞行器减速, 而天体也会受到前边飞行器的引力并且加速, 也就是天体的动能传给了飞行器. 因此这一过程不论是加速还是减速, 都符合能量守恒定向.

引力弹弓的轨道设计需要大量计算，它的正式应用是在被提出之後大约50年。1961年，加州大学洛杉矶分校25岁的研究生迈克尔·米诺维奇使用当时最先进的IBM7090计算机研究三体问题，顺带计算了一下引力弹弓的轨道。他发现在1970年代末期，太阳系会提供一次绝佳的引力弹弓的机会：木星、土星、天王星、海王星都位于太阳的同一侧，如果发射一颗飞行器，依次利用这四颗星球的引力弹弓加速，就可以在12年内，用很少的燃料探访这四颗星球。如果错过了这个时机，下次就要再等上176年（公元2154年, 不过此时地球生物圈已经被2126年的彗星撞地球事件毁灭）。NASA利用这次机会开始了航海家号计划，于1977年NASA发射了旅行者一号和旅行者二号飞行器。如今，两位旅行者都已经完成了各自的使命，并且已经在宇宙中遨游了42年，它们已经成功的借助引力弹弓效应飞到了太阳系的边缘。