孪生质数ζ函数，记作ζₜₚ(x)，其有一些有趣的性质，比如

定義

ζₜₚ(x)=1⁻ˣ+3⁻ˣ+5⁻ˣ+7⁻ˣ+etc(读作エトラ)

定義域

x≥1(尚未被解析延拓时)

取值

对于函数y=ζₜₚ(x), 当其在没有解析延拓的情况下, 其在x≥1时必有其相应的y值; x＜1时发散. 且在x=1时的导函数为负无穷大, 比如ζₜₚ(1)=3ﾗ29∗#25097070; ζₜₚ'(1)=−∞.

右边括号内为十进制结果

x	ζₜₚ(x)	十进制
1	3ﾗ29∗#25	3.235493
2	1ﾗ244∗19	1.197248
3	1ﾗ071919	1.049631
4	1ﾗ0210527	1.0144885
5	1ﾗ00794#46	1.00450483
6	1.0025#6#9	1.00144507

且ζₜₚ(1)'为负无穷大，相当于y=arcos x 在x=−1时的导数。

奇妙的ζₜₚ(1)

ζₜₚ(1)=B₂=3ﾗ29∗#25097070

プローㇴ常数

3.23549391

也就是全部孪生质数的倒数之和收敛.

虽然我发现孪生质数有无穷多个，但这并没有使ζₜₚ(1)发散。

这是因为孪生质数已经足够稀少了。

x以内的全部孪生质数的估算

y=4÷3·x÷[ln x]²

$\mathrm{y=\frac{4}{3}\frac{x}{\ln^{2}(x)}}$

十二进制中可写作

y=1;4x÷[ln x]²

$\mathrm{y=\frac{1;4x}{[\ln(x)]^{2}}}$

由于x附近的孪生质数密度为1÷ln² x，对于孪生质数的倒数，则其有

∫ [1÷(x ln² x)]dx=−1÷ln x +C

虽然其收敛速度很慢，但是其依然收敛，所以全部的孪生质数之和必定收敛到一个实数。

由此可见孪生质数确实是稀少。

孪生质数无穷多的证明

A rigorous proof of an infinite number of twin pri

孪生质数列表

十二进制版

n aₙ

1 1

2 3

3 5

4 7

5 #

6 11

7 15

8 17

9 25

∗ 27

‎# 35

10 37

11 4#

12 51

13 5#

14 61

15 85

16 87

17 8#

18 91

19 #5

1∗ #7

1# 105

20 107

21 12#

22 131

23 13#

24 141

25 145

26 147

27 16#

28 171

29 17#

2∗ 181

2# 1*5

30 1*7

31 1#5

32 1#7

33 21#

34 221

35 24#

36 251

37 2*#

38 2#1

39 2##

3∗ 301

3# 325

40 327

41 375

42 377

43 3#5

44 3#7

45 41#

46 421

47 435

48 437

49 455

4∗ 457

4# 46#

50 471

51 575

52 577

53 585

54 587

55 58#

56 591

57 5#5

58 5#7

59 615

5∗ 617

5# 70#

60 711

十进制列表（原文）

1 1

2 3

3 5

4 7

5 11

6 13

7 17

8 19

9 29

10 31

11 41

12 43

13 59

14 61

15 71

16 73

17 101

18 103

19 107

20 109

21 137

22 139

23 149

24 151

25 179

26 181

27 191

28 193

29 197

30 199

31 227

32 229

33 239

34 241

35 269

36 271

37 281

38 283

39 311

40 313

41 347

42 349

43 419

44 421

45 431

46 433

47 461

48 463

49 521

50 523

51 569

52 571

53 599

54 601

55 617

56 619

57 641

58 643

59 659

60 661

61 809

62 811

63 821

64 823

65 827

66 829

67 857

68 859

69 881

70 883

71 1019

72 1021