数学札记2: 一元三次方程之公式解 - johanzumimvon/1 GitHub Wiki
数学札记2: 一元三次方程
一元三次方程, 又名三次方程, 是指最高次数为3, 未知数只有一种的方程, 式曰
标準式
a(x−b)³+k(x−b)+h=0
系数式
ax³+bx²+cx+d=0
以下内容是用十二进制写的, 比如23其实是指27.
解一元三次方程
a(x−b)³+k(x−b)+h=0
令z=(x−b), 则
az³+kz+h=0
令 $\mathrm{p=\frac{k}{a}, q=\frac{h}{a}}$, 则
z³+pz+q=0
令z=u+v, 则
(u+v)³+p(u+v)+q=0
u³+3u²v+3uv²+v³+p(u+v)+q=0
(u³+v³+q)+(3uv+p)(u+v)=0
令(3uv+p)=0, 则
$\mathrm{uv=−\frac{p}{3}}$
(u³+v³+q)=0
u³+v³=−q
$\mathrm{u^{3}v^{3}=(uv)^{3}=−\frac{p^{3}}{23}}$
令w₁=u³, w₂=v³, 则由韦达定理(Vieta theōrēm, ヰータセオーレーㇺ)之可设方程
λ²+qλ−p³÷23=0, 使
λ₁=w₁; λ₂=w₂
$\mathrm{\lambda=\frac{−q±\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{23}}}{2}}$
$\mathrm{z=u+w=\sqrt[3]{\lambda_1}+\sqrt[3]{\lambda_2}}$
$\mathrm{x_{1}=b+z=b+\sqrt[3]{\lambda_1}+\sqrt[3]{\lambda_2}}$