リーマㇴﾁｪータ函数是指y=∑n⁻ˣ，记作ζ(x)。

ζ(x)= $\mathrm{\sum\frac{1}{n^{x}}}$ =∑n⁻ˣ= $\mathrm{\frac{1}{(x-1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^{t}-1}\mathrm{d}t}$

直接按照∑n⁻ˣ计算，可以计算z＞1时的ζ(x)，对于临界线的取值和负数的取值，则需要解析延拓的方法来解决。

关联条目

发散级数求和

发散级数求和可能是指解析延拓.

收敛级数必定有固定值，但是发散级数就不好说了，不过有部分发散级数，经过特殊的数学方法之后，会得到解析延拓值.

通过发散级数求和这一特殊的数学方法，可以将黎曼ζ函数的数值解析延拓到负整数。

通过更加复杂的解析延拓方法，也就是对伽马函数（可以看作阶乘在实数域甚至实数域上的延伸）的使用，可以将黎曼ζ函数解析延拓到z=a+bi，a可以取(−∞,0)并(1,+∞)；b可以取任意值。对于ζ(1)，一般认为是无穷大，但某些情况下，也会有ζ(1)=γ=0.5772156649......

ζ(1−x)= $\mathrm{2\cdot(2\pi)^{−x}(x−1)!\cos(\frac{\pi x}{2})}$ ζ(x)

台リᆽレㇳエータ函数

台リᆽレㇳエータ函数，也叫狄利克雷eta函数，其记作η(x)，且满足

η(x)= $\mathrm{\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{n^{x}}}$ =∑(−1)ⁿ⁺¹n⁻ˣ= $\mathrm{\frac{1}{(x-1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x}}{t(\mathrm{e}^{t}+1)}\mathrm{d}t}$

η(x)=1⁻ˣ−2⁻ˣ+3⁻ˣ−4⁻ˣ+5⁻ˣ−6⁻ˣ+etc

狄利克雷η函数与黎曼ζ函数的关联

η(x)

=ζ(x)−2[2⁻ˣ+4⁻ˣ+6⁻ˣ+8⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2[(2·1)⁻ˣ+(2·2)⁻ˣ+(2·3)⁻ˣ+(2·4)⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2[2⁻ˣ·1+2⁻ˣ·2⁻ˣ+2⁻ˣ·3⁻ˣ+2⁻ˣ·4⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2·2⁻ˣ[1+2⁻ˣ+3⁻ˣ+4⁻ˣ+5⁻ˣ+6⁻ˣ+etc]

=ζ(x)−2·2⁻ˣζ(x)

=ζ(x)−2¹⁻ˣζ(x)

=[1−2¹⁻ˣ]ζ(x)

η(x)=(1−2¹⁻ˣ)ζ(x)

反过来就是

ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$

由此可将黎曼ζ函数的定义域扩展到0、负整数、实部z＞0的任意实数，也包括了临界线上的数值计算，也就是y=ζ( $\frac{1}{2}$ +xi)。其原因可参考レーㇷﾞニﾁ审敛法。

如果配合ζ(1−x)= $\mathrm{2\cdot(2\pi)^{−x}(x−1)!\cos(\frac{\pi x}{2})}$ ζ(x)的话，则可以将黎曼ζ函数解析延拓到整个複数域！

レーㇷﾞニﾁ审敛法

对于交错级数∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]，如果aₙ＞aₙ₊₁＞0，且随n的增大aₙ趋于0，则∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]必定有极限存在：

∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]=a₁−a₂+a₃−a₄+a₅−a₆+etc

∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]=a₁−[(a₂−a₃)+(a₄−a₅)+(a₆−a₇)+etc]＜a₁

∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]=0+[(a₁−a₂)+(a₃−a₄)+(a₅−a₆)]＞0

这就是交错级数审敛法，也叫莱布尼茨准则（レーㇷﾞニﾁ审敛法）：

0＜∑[(−1)ⁿ⁺¹aₙ]＜a₁，aₙ＞aₙ₊₁＞0，且随n的增大aₙ趋于0的时候。

由交错级数审敛法可知，对于η(x)= $\mathrm{\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{n^{x}}}$ =∑(−1)ⁿ⁺¹n⁻ˣ，x＞0时满足0＜η(x)＜1。

也就是说，对于实部＞0的任意复数，都存在其相应的狄利克雷η函数值，通过ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$ ，可以将黎曼ζ函数的定义域的实部解析延拓到实部＞0，从而包括了临界线 $\frac{1}{2}$ +xi。

黎曼ζ函数的解析延拓

主条目：解析延拓

η函数和ζ函数满足以下函数方程：

η(x)=(1−2¹⁻ˣ)ζ(x)

反过来就是

ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$

利用ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$ ，从而将黎曼ζ函数的定义域延拓到实部大于0，从而将非平凡零点囊括其中。

这很有意思，因为我们从这个方程中立即看到了关于η函数的零点的一些事实。

首先，η函数具有ζ函数所具有的所有零点，因为0·(1−2¹⁻ˣ)=0。此外，η函数在Re(x)=1的直线上有无限多的零点，也就是 $\mathrm{1+\frac{2k\pi}{\ln(2)}\mathrm{i}}$ ，k是0以外的整数，这来自于上面的第一个因素。

有趣的是，我们知道ζ函数的所有非平凡零点所在的关键地带，η函数也有完全相同的零点。

换句话说，对于η函数也有一个黎曼假设。这说明所有η的非平凡零点（指临界带内的零点）都有实部 $\frac{1}{2}$ 。

让我们用这个来拆分η函数。首先注意，如果我们写x = r + it，那么：

n⁻ˣ = n⁻ʳ⁻ⁱᵗ = n⁻ʳe⁻ⁱ ˡⁿ⁽ⁿ⁾ᵗ = n⁻ʳ[cos(t ln n)−i sin(t ln n)]

因此，我们可以通过以下方式写出狄利克雷 η函数：

η(x) = 1⁻ʳcos(t ln 1)−2⁻ʳcos(t ln 2)+3⁻ʳcos(t ln 3)−4⁻ʳcos(t ln 4)+5⁻ʳcos(t ln 5)−6⁻ʳcos(t ln 6)+etc −i[1⁻ʳsin(t ln 1)−2⁻ʳsin(t ln 2)+3⁻ʳsin(t ln 3)−4⁻ʳsin(t ln 4)+5⁻ʳsin(t ln 5)−6⁻ʳsin(t ln 6)+etc]

对于ζ(x)，其在负整数上的取值则可以通过解析延拓得到

临界线计算

对于y=η( $\frac{1}{2}$ +xi)，其有计算式：

$\mathrm{\eta(\frac{1}{2}+xi)=\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\cos[x\ln(n)]−i\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sin[x\ln(n)]}$

利用ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$ ，从而将黎曼ζ函数的定义域延拓到实部大于0，从而将非平凡零点囊括其中。

临界线上将η( $\frac{1}{2}$ +xi)转化为ζ( $\frac{1}{2}$ +xi)的方法

设η( $\frac{1}{2}$ +xi)=C+Di，也就是η( $\frac{1}{2}$ +xi)的实部为C，虚部为D，又设二个变量A、B，且满足

$\mathrm{\mathrm{A}=\frac{1-\sqrt{2}\cos(x\ln 2)}{[1-\sqrt{2}\cos(x\ln 2)]^{2}+[\sqrt{2}\sin(x\ln 2)]^{2}}}$

$\mathrm{\mathrm{B}=\frac{-\sqrt{2}\sin(x\ln 2)}{[1-\sqrt{2}\cos(x\ln 2)]^{2}+[\sqrt{2}\sin(x\ln 2)]^{2}}}$

$\mathrm{\mathrm{C}=\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\cos[x\ln(n)]}$

$\mathrm{\mathrm{D}=−\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sin[x\ln(n)]}$

则η( $\frac{1}{2}$ +xi)=C+Di，也就是ζ( $\frac{1}{2}$ +xi)=(AC−BD)+(BC+AD)i

也就是黎曼ζ函数在临界线的的取值的实部为(AC−BD)，虚部为(BC+AD)。

数值

y=ζ(x)

ζ(0;6−12;17497#14#2#...ī)=0

黎曼ζ函数的非平凡零点有其共轭複数值

ζ(0;6+12;17497#14#2#...ī)=0

ζ(0;6+19;03210201312...ī)=0

ζ(0;6+21;0169186888...ī)=0

ζ(0;6+26;5122293922#...ī)=0

ζ(0;6+28;#27952#343#...ī)=0

ζ(0;6+31;704∗#∗72∗81#...ī)=0

ζ(0;6+34;#0366832#∗797...ī)=0

ζ(0;6+37;3#122370064...ī)=0

ζ(0;6+40;008∗98547537...ī)=0

ζ(0;6−40;008∗98547537...ī)=0

ζ(−2n)=0

ζ(−12)=0

ζ(−11)=−0;1

ζ(−10)=0

ζ(−#)=497÷16#60=0;03 0546902∗21#5 0546902∗21#5 0546902∗21#5 エトラ

ζ(−∗)=0

ζ(−9)=−1÷#0=−0;0111111111111エトラ

ζ(−8)=0

ζ(−7)= $\frac{1}{180}$ =0;00724972497249エトラ

ζ(−6)=0

ζ(−5)= $−\frac{1}{190}$ =−0;00 6∗3518 6∗3518エトラ

ζ(−4)=0

ζ(−3)= $\frac{1}{∗0}$ =0;01249724972497エトラ

ζ(−2;6)=0;0128734#592......

ζ(−2)=0

ζ(−1;6)=−0;03804352∗59......

ζ(−1)=−0;1

ζ(−0;6)=−0;25#288#371...

ζ(0)=−0;6

ζ(0;6)=−1;5635∗#24561...

ζ(1)=複平面之外

有时也会规定ζ(1)=γ=0;6#15188∗6760#381#7543345......

ζ(1+r)（r是极其接近于1的複数） ≈ $\gamma+\frac{1}{r}$

ζ(1;6)=2;742226##024373...

ζ(2)= $\frac{\pi^{2}}{6}$ =1;78∗542 97∗561 05370∗ 330717...

ζ(2;6)=1;41210#5∗05087...

ζ(3)=1;2511∗2 81∗∗∗∗ 589757 692336...

ζ(3;6)=1;162##5372622...

ζ(4)= $\frac{\pi^{4}}{76}$ =1;0#∗307 ∗37995 919∗#1 8012#3

ζ(4;6)=1;07∗64#9031732......

ζ(5)=1;053989 829522 ∗7#209 217840...

ζ(5;6)=1;037678580520

十进制是1.02520457995

ζ(6)= $\frac{\pi^{6}}{669}$ =1;025#76 132579 818693 888991...

ζ(7)=1;012516 98547# 6∗∗#91 126251...

ζ(8)=1;007066 #06494 235∗70 ∗78542...

ζ(9)=1;003579 041∗14 ∗∗51#8 771∗91...

ζ(∗)=1;001875 951252 #6829* 865135

ζ(#)=1;000∗2# 780796 86738# 3#7552…

ζ(10)=1;000512 988690 314846 #951∗0…