黎曼猜想就是指，对于黎曼ζ函数，除了在负偶数上的平凡零点ζ(−2n)=0以外，其他所有的零点位于临界线 $\mathrm{\frac{1}{2}+xi}$ 上。其中，i是虚数单位，且i²=−1。

临界线计算

对于y=η( $\frac{1}{2}$ +xi)，其有计算式：

$\mathrm{\eta(\frac{1}{2}+xi)=\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\cos[x\ln(n)]−i\sum(−1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sin[x\ln(n)]}$

y=η( $\frac{1}{2}$ +xi)，其中，橙黄色为实部；天青色为虚部。

利用ζ(x)= $\mathrm{\frac{\eta(x)}{1−2^{1−x}}}$ ，从而将黎曼ζ函数的定义域延拓到实部大于0，从而将非平凡零点囊括其中。

y=ζ( $\frac{1}{2}$ +xi)，其中，绿色为实部，蓝紫色为虚部。

意味

如果黎曼猜想获证，则意味着强质数定理成立。通过尤拉乘积可知黎曼ζ函数与质数有着密切的关联。

强质数定理

li(x)−k $\mathrm{\sqrt{x}\ln(x)}$ ＜π(x)＜ li(x)+k $\mathrm{\sqrt{x}\ln(x)}$

其中，π(x)是质数计数函数；li(x)是对数积分。

黎曼猜想的等价命题

斯奎斯数

斯奎斯数（Skewes number，ㇲ𠀐ㇲ数）是一个跟质数有关的数，提出者为Stanley Skewes，ㇲタㇴリー·ㇲケㇲ，又分成第一斯奎斯数跟第二斯奎斯数，其中，第一斯奎斯数写作Sk₁或者Skᵣ；第二斯奎斯写作Sk₂，Sₖ则是斯奎斯数的总称。

第一斯奎斯数也写成Sk₁或者Skᵣ，是使得π(n)>li(n)成立的最小数n，其中π(n)是质数计算函数，而li(n)则是对数积分，也就是li(x)= $\mathrm{\int \frac{1}{\ln(x)}dx }$ ，其中，li(0)=0；li(1.45136923488338105028396848589202744949......)=0。这个上限需要黎曼假设成立，其上限值为：

$\mathrm{Sk_{r}=e^{e^{e^{79}}}\approx 10^{10^{10^{34}}}}$

从目前来看，对于Sₖ，其上限已经被缩小到 $\mathrm{e^{727.95133}}$ ≈1.4·10³¹⁶，而下限则被提高到10¹⁴（至少有15位数）。这个上限已经远比原来的斯奎斯数小很多了。

也就是说，如果在1.4·10³¹⁶内发现π(n)>li(n)，则意味着黎曼猜想得证！这意味着谁掌握了先进的计算技术，谁就会先发现第一斯奎斯数Skr，就相当于谁先证明了黎曼猜想！

黎曼猜想的其他等价命题

ζ'(x)的零点

对于y=ζ(x)，其存在导函数ζ'(x)，如果黎曼猜想成立，则ζ'(x)在实部x＜ $\frac{1}{2}$ 的时候，只有虚部为0的时候才能有零点。

随着n的增加，第(n+1)个质数的开n次方递减

$\mathrm{\sqrt[n]{p(n+1)}>\sqrt[n+1]{p(n+2)}>p(1)}$

$2>\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{7}>\sqrt[5]{11}>\sqrt[6]{13}>\sqrt[7]{17}>\sqrt[8]{19}>\sqrt[9]{23}>\mathrm{etc}>1$

p(1)=1

p(2)=2

p(3)=3

p(4)=5

p(5)=7

如果黎曼猜想不成立

如果黎曼猜想不成立，则存在第二斯奎斯数，也就是 $\mathrm{Sk_{2}}$ ，且满足 $\mathrm{Sk_{2}=e^{e^{e^{2220}}}\approx 10^{10^{10^{964}}}}$

非平凡零点

非平凡零点的正切值

arctan[2ㅈ(n)]

其中，ㅈ(n)是第n个非平凡零点的虚部取值，比如

ㅈ(1) =14.1347251417346937904572519835624702707......

以下数值使用弧度制。

$\mathrm{\arctan[\frac{2\pi}{\ln(2)}]}$

=1.4609228102082624604316149695674386680459

arctan[2ㅈ(1)]

=1.5354371953234305271......

$\mathrm{\arctan[\frac{4\pi}{\ln(2)}]}$

=1.5156932652547950785665641696232684565453

arctan[2ㅈ(2)]

=1.5470162485365673636......

arctan[2ㅈ(3)]

=1.5508076716450922785......

$\mathrm{\arctan[\frac{6\pi}{\ln(2)}]}$

=1.5340402882667623728078451037381182759761

arctan[2ㅈ(4)]

=1.5543638853633166765......

arctan[2ㅈ(5)]

=1.5556161033862472735......

$\mathrm{\arctan[\frac{8\pi}{\ln(2)}]}$

=1.5432238661358178846976936300811203623407

arctan[2ㅈ(6)]

=1.5574943489480495347......

非平凡零点列表

n	ㅈ(n)
1	14.1347251417346937904572
2	21.0220396387715549926284
3	25.0108575801456887632137
4	30.4248761258595132103118
5	32.9350615877391896906623
6	37.5861781588256712572177
7	40.9187190121474951873981
8	43.3270732809149995194961
9	48.0051508811671597279424

当n≥9142时，ㅈ(n)＜n，并且对于几乎所有的ㅈ(n)，其满足ㅈ(n)＜n