변분법 (Calculus of Variations)

• 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.

범함수

• 함수를 입력 받아서 실수를 출력하는 것
• 기댓값, 엔트로피 등에서 많이 활용 됨
• 대부분 정적분으로 계산되고 활용됨

범함수의 테일러 전개

F : 단변수 함수

F : 다변수 함수

• 실수 벡터를 입력받아 실수를 출력하는 함수에 대한 테일러 전개

F : 범함수

• 모델링 확장
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• 기존 식 변형
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• 범함수의 테일러 전개
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    • y(x_i), epsilon sequence를 하나의 함수로 치환
    • 함수를 입력 받아 실수를 출력하는 함수에 대한 테일러 전개

범함수와 도함수

범함수의 도함수

적분형 범함수의 도함수

오일러 라그랑주 공식

• 범함수 F의 함수 y에 대한 미분

최적제어

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  • 일반함수 : 함수 f(x)가 가장 커지도록 혹은 작아지도록 하는 x를 찾아내는 조건
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  • 범함수 : 범함수 F[y(x)]가 가장 커지도록 혹은 작아지도록 하는 y(x)를 찾아내는 조건

Ref

• https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations
• https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%80%EB%B6%84%EB%B2%95