00TD02A 1P ‐7‐ Funksjoner - itnett/FTD02N GitHub Wiki

Funksjoner

Koordinatsystemet

Grafen til en funksjon

7 Funksjoner

Innhold

Leksjon Tema
7.1 Koordinatsystemet
7.2 Funksjoner
7.3 Grafen til en funksjon
7.4 Tegne grafer i GeoGebra
7.5 Funksjoner i hverdagen
7.6 Lineære funksjoner
7.7 Proporsjonale størrelser
7.8 Omvendt proporsjonale størrelser
7.9 Andregradsfunksjoner
7.10 Egenskaper ved andregradsfunksjoner
7.11 Andregradsfunksjoner i praktiske situasjoner

Leksjon 7.1: Koordinatsystemet

🧐 Hva er Koordinatsystemet?

Koordinatsystemet er et todimensjonalt system som brukes for å plotte punkter ved hjelp av to tall, kalt koordinater. De to aksene kalles x-aksen (horisontal) og y-aksen (vertikal).

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Aksene:

    • x-aksen: horisontal akse
    • y-aksen: vertikal akse

  2. Koordinater:

    • Et punkt representeres som (x, y)
    • Eksempel: Punktet (3, 2) er 3 enheter til høyre og 2 enheter opp.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Plot punktet (4, 5) i koordinatsystemet.
  • Hva er koordinatene til punktet som er 6 enheter til venstre og 3 enheter ned?

Leksjon 7.2: Funksjoner

🔍 Hva er en Funksjon?

En funksjon er en regel som kobler hvert element i en mengde til nøyaktig ett element i en annen mengde. Funksjoner beskrives ofte ved hjelp av formler som $f(x)$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Definisjon:

    • Funksjon $f$ som tilordner $x$ til $f(x)$.
    • Eksempel: $f(x) = 2x + 3$

  2. Input og Output:

    • Input: verdien av $x$.
    • Output: verdien av $f(x)$.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn $f(2)$ for funksjonen $f(x) = 3x + 1$.
  • Hva er $f(-1)$ hvis $f(x) = x^2 - 4x + 7$?

Leksjon 7.3: Grafen til en Funksjon

🤔 Hvordan Tegne Grafen til en Funksjon?

Grafen til en funksjon er en visuell representasjon av funksjonen i et koordinatsystem.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Plotting av Punkt:

    • For å tegne grafen til $f(x)$, plotter vi punkter for forskjellige verdier av $x$.
    • Eksempel: For $f(x) = x + 2$, plot punktene (0, 2), (1, 3), (2, 4).

  2. Tegn en Linje:

    • Koble punktene med en linje eller kurve.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = 2x - 1$.
  • Plot punktene og tegn grafen for $f(x) = x^2$.

Leksjon 7.4: Tegne Grafer i GeoGebra

📊 Hvordan Tegne Grafer i GeoGebra?

GeoGebra er et digitalt verktøy som brukes til å tegne grafer og utføre matematiske beregninger.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Bruke GeoGebra:

    • Gå til GeoGebra-nettstedet eller appen.
    • Bruk input-feltet til å skrive inn funksjonen.
    • Eksempel: Skriv $f(x) = 2x + 3$ og trykk enter.

  2. Utforske Grafer:

    • Bruk verktøyene til å zoome, flytte og analysere grafen.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = -x + 4$ i GeoGebra.
  • Bruk GeoGebra til å plotte $f(x) = x^2 - 4x + 4$.

Leksjon 7.5: Funksjoner i Hverdagen

🌟 Hvordan Bruke Funksjoner i Hverdagen?

Funksjoner kan brukes til å modellere og løse problemer i hverdagen, for eksempel økonomi, fysikk og ingeniørfag.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel på Økonomi:

    • Funksjonen $C(x) = 50x + 200$ kan representere kostnaden $C$ for å produsere $x$ enheter.

  2. Eksempel på Fysikk:

    • Funksjonen $s(t) = 5t^2$ kan representere strekningen $s$ et objekt beveger seg over tid $t$ under konstant akselerasjon.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn kostnaden for å produsere 10 enheter hvis $C(x) = 50x + 200$.
  • Hvor langt beveger et objekt seg etter 3 sekunder hvis $s(t) = 5t^2$?

Leksjon 7.6: Lineære Funksjoner

📈 Hva er Lineære Funksjoner?

Lineære funksjoner er funksjoner som gir en rett linje når de tegnes i et koordinatsystem. De har formen $f(x) = ax + b$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Skråning og Intercept:

    • $a$ er skråningen (stigningstallet) til linjen.
    • $b$ er y-interceptet (der linjen krysser y-aksen).

  2. Eksempel:

    • Funksjonen $f(x) = 2x + 3$ har skråning 2 og y-intercept 3.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hva er skråningen og y-interceptet til $f(x) = 4x - 1$?
  • Tegn grafen til $f(x) = -3x + 5$.

Leksjon 7.7: Proporsjonale Størrelser

⚖️ Hva er Proporsjonale Størrelser?

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant. Dette kan uttrykkes som $y = kx$ der $k$ er konstanten.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Direkte Proporsjonalitet:

    • Eksempel: Hvis prisen $P$ er proporsjonal med antall varer $n$, kan det skrives som $P = kn$.

  2. Grafen til Proporsjonale Størrelser:

    • Grafen til $y = kx$ er en rett linje gjennom origo (0, 0).

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hvis $y = 5x$, hva er $y$ når $x = 3$?
  • Tegn grafen til en funksjon der $y = 2x$.

Leksjon 7.8: Omvendt Proporsjonale Størrelser

🔄 Hva er Omvendt Proporsjonale Størrelser?

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant. Dette kan uttrykkes som $y = \frac{k}{x}$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Omvendt Proporsjonalitet:

    • Eksempel: Hvis arbeidstid $T$ er omvendt proporsjonal med antall arbeidere $N$, kan det skrives som $T = \frac{k}{N}$.

  2. Grafen til Omvendt Proporsjonale Størrelser:

    • Grafen til $y = \frac{k}{x}$ er en hyperbel.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hvis $y = \frac{10}{x}$, hva er $y$ når $x = 2$?
  • Tegn grafen til $y = \frac{6}{x}$.

Leksjon 7.9: Andregradsfunksjoner

🌟 Hva er Andregradsfunksjoner?

Andregradsfunksjoner er funksjoner av formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, hvor grafen er en parabel.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Parabelens Form:

    • Hvis $a > 0$, åpner parabelen oppover.
    • Hvis $a < 0$, åpner parabelen nedover.

  2. Eksempel:

    • Funksjonen $f(x) = x^2 -

4x + 3$ er en parabel som åpner oppover.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
  • Hva er toppunktet til parabelen $f(x) = -x^2 + 4x - 2$?

Leksjon 7.10: Egenskaper ved Andregradsfunksjoner

📊 Hvilke Egenskaper har Andregradsfunksjoner?

Andregradsfunksjoner har egenskaper som toppunkt, bunnpunkt og symmetriakse.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Toppunkt/Bunnpunkt:

    • Toppunkt: Det høyeste punktet på en parabel som åpner nedover.
    • Bunnpunkt: Det laveste punktet på en parabel som åpner oppover.

  2. Symmetriakse:

    • Linjen som går gjennom toppunktet/bunnpunktet og deler parabelen i to like deler.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn toppunktet til $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
  • Hva er symmetriaksen til $f(x) = x^2 + 4x + 4$?

Leksjon 7.11: Andregradsfunksjoner i Praktiske Situasjoner

🛠️ Hvordan Brukes Andregradsfunksjoner i Praktiske Situasjoner?

Andregradsfunksjoner kan modellere en rekke praktiske situasjoner som bevegelse, økonomi og fysikk.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel på Bevegelse:

    • Funksjonen $s(t) = -5t^2 + 20t$ kan representere høyden $s$ til en ball over tid $t$.

  2. Eksempel på Økonomi:

    • Funksjonen $R(x) = -2x^2 + 12x - 20$ kan representere inntekten $R$ basert på antall solgte enheter $x$.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn maksimal høyde for en ball gitt ved $s(t) = -4.9t^2 + 19.6t$.
  • Hva er toppunktet for funksjonen $R(x) = -x^2 + 8x - 15$?

Full Forklaring og Fasit

Tabell for Øvingsoppgaver

Oppgave Delvis Utregning Full Utregning Riktig Svar
$f(2)$ for $f(x) = 3x + 1$ $3 \times 2 + 1$ $6 + 1$ $7$
$f(-1)$ for $f(x) = x^2 - 4x + 7$ $(-1)^2 - 4(-1) + 7$ $1 + 4 + 7$ $12$
$y = 5x$, når $x = 3$ $5 \times 3$ $15$ $15$
$y = \frac{10}{x}$, når $x = 2$ $\frac{10}{2}$ $5$ $5$
Toppunkt for $f(x) = -x^2 + 4x - 2$ $- \frac{b}{2a}$ $- \frac{4}{2(-1)}$ $2$

Eksempel Forklaring

  1. Koordinatsystemet:

    • Plot punktet (4, 5) i koordinatsystemet:
      • Gå 4 enheter til høyre og 5 enheter opp.
      • Svar: Punktet er plassert på (4, 5).

  2. Funksjoner:

    • Finn $f(2)$ for funksjonen $f(x) = 3x + 1$:
      • Erstatt $x$ med 2: $3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7$
      • Svar: $7$

  3. Lineære Funksjoner:

    • For funksjonen $f(x) = 4x - 1$:
      • Skråningen er 4 og y-interceptet er -1.
      • Tegn en linje som går gjennom punktet (0, -1) og stiger med 4 enheter for hver 1 enhet til høyre.

  4. Proporsjonale Størrelser:

    • For funksjonen $y = 5x$, hva er $y$ når $x = 3$?
      • Multipliser: $y = 5 \times 3 = 15$
      • Svar: $15$

  5. Andregradsfunksjoner:

    • For funksjonen $f(x) = -x^2 + 4x - 2$, finn toppunktet:
      • Bruk formelen for toppunktet: $x = - \frac{b}{2a}$
      • Beregn: $x = - \frac{4}{2(-1)} = 2$
      • Svar: $x = 2$

Med disse eksemplene og forklaringene, kan du nå øve på funksjoner og deres egenskaper, og forstå hvordan du kommer frem til riktige svar. Øv gjerne på flere oppgaver for å styrke ferdighetene dine! 📘✨

7 Funksjoner

Innhold

Leksjon Tema
7.1 Koordinatsystemet
7.2 Funksjoner
7.3 Grafen til en funksjon
7.4 Tegne grafer i GeoGebra
7.5 Funksjoner i hverdagen
7.6 Lineære funksjoner
7.7 Proporsjonale størrelser
7.8 Omvendt proporsjonale størrelser
7.9 Andregradsfunksjoner
7.10 Egenskaper ved andregradsfunksjoner
7.11 Andregradsfunksjoner i praktiske situasjoner

Leksjon 7.1: Koordinatsystemet

🧐 Hva er Koordinatsystemet?

Koordinatsystemet er et todimensjonalt system som brukes for å plotte punkter ved hjelp av to tall, kalt koordinater. De to aksene kalles x-aksen (horisontal) og y-aksen (vertikal).

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Aksene:

    • x-aksen: horisontal akse
    • y-aksen: vertikal akse

  2. Koordinater:

    • Et punkt representeres som (x, y)
    • Eksempel: Punktet (3, 2) er 3 enheter til høyre og 2 enheter opp.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Plot punktet (4, 5) i koordinatsystemet.
  • Hva er koordinatene til punktet som er 6 enheter til venstre og 3 enheter ned?

Koordinatsystemet

Leksjon 7.2: Funksjoner

🔍 Hva er en Funksjon?

En funksjon er en regel som kobler hvert element i en mengde til nøyaktig ett element i en annen mengde. Funksjoner beskrives ofte ved hjelp av formler som $f(x)$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Definisjon:

    • Funksjon $f$ som tilordner $x$ til $f(x)$.
    • Eksempel: $f(x) = 2x + 3$

  2. Input og Output:

    • Input: verdien av $x$.
    • Output: verdien av $f(x)$.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn $f(2)$ for funksjonen $f(x) = 3x + 1$.
  • Hva er $f(-1)$ hvis $f(x) = x^2 - 4x + 7$?

Funksjoner

Leksjon 7.3: Grafen til en Funksjon

🤔 Hvordan Tegne Grafen til en Funksjon?

Grafen til en funksjon er en visuell representasjon av funksjonen i et koordinatsystem.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Plotting av Punkt:

    • For å tegne grafen til $f(x)$, plotter vi punkter for forskjellige verdier av $x$.
    • Eksempel: For $f(x) = x + 2$, plot punktene (0, 2), (1, 3), (2, 4).

  2. Tegn en Linje:

    • Koble punktene med en linje eller kurve.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = 2x - 1$.
  • Plot punktene og tegn grafen for $f(x) = x^2$.

Grafen til en funksjon

Leksjon 7.4: Tegne Grafer i GeoGebra

📊 Hvordan Tegne Grafer i GeoGebra?

GeoGebra er et digitalt verktøy som brukes til å tegne grafer og utføre matematiske beregninger.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Bruke GeoGebra:

    • Gå til GeoGebra-nettstedet eller appen.
    • Bruk input-feltet til å skrive inn funksjonen.
    • Eksempel: Skriv $f(x) = 2x + 3$ og trykk enter.

  2. Utforske Grafer:

    • Bruk verktøyene til å zoome, flytte og analysere grafen.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = -x + 4$ i GeoGebra.
  • Bruk GeoGebra til å plotte $f(x) = x^2 - 4x + 4$.

Tegne grafer i GeoGebra

Leksjon 7.5: Funksjoner i Hverdagen

🌟 Hvordan Bruke Funksjoner i Hverdagen?

Funksjoner kan brukes til å modellere og løse problemer i hverdagen, for eksempel økonomi, fysikk og ingeniørfag.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel på Økonomi:

    • Funksjonen $C(x) = 50x + 200$ kan representere kostnaden $C$ for å produsere $x$ enheter.

  2. Eksempel på Fysikk:

    • Funksjonen $s(t) = 5t^2$ kan representere strekningen $s$ et objekt beveger seg over tid $t$ under konstant akselerasjon.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn kostnaden for å produsere 10 enheter hvis $C(x) = 50x + 200$.
  • Hvor langt beveger et objekt seg etter 3 sekunder hvis $s(t) = 5t^2$?

Funksjoner i hverdagen

Leksjon 7.6: Lineære Funksjoner

📈 Hva er Lineære Funksjoner?

Lineære funksjoner er funksjoner som gir en rett linje når de tegnes i et koordinatsystem. De har formen $f(x) = ax + b$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Skråning og Intercept:

    • $a$ er skråningen (stigningstallet) til linjen.
    • $b$ er y-interceptet (der linjen krysser y-aksen).

  2. Eksempel:

    • Funksjonen $f(x) = 2x + 3$ har skråning 2 og y-intercept 3.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hva er skråningen og y-interceptet til $f(x) = 4x - 1$?
  • Tegn grafen til $f(x) = -3x + 5$.

Lineære funksjoner

Leksjon 7.7: Proporsjonale Størrelser

⚖️ Hva er Proporsjonale Størrelser?

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er konstant. Dette kan uttrykkes som $y = kx$ der $k$ er konstanten.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Direkte Proporsjonalitet:

    • Eksempel: Hvis prisen $P$ er proporsjonal med antall varer $n$, kan det skrives som $P = kn$.

  2. Grafen til Proporsjonale Størrelser:

    • Grafen til $y = kx$ er en rett linje gjennom origo (0, 0).

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hvis $y = 5x$, hva er $y$ når $x = 3$?
  • Tegn grafen til en funksjon der $y = 2x$.

Proporsjonale størrelser

Leksjon 7.8: Omvendt Proporsjonale Størrelser

🔄 Hva er Omvendt Proporsjonale Størrelser?

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er konstant. Dette kan uttrykkes som $y = \frac{k}{x}$.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Omvendt Proporsjonalitet:

    • Eksempel: Hvis arbeidstid $T$ er omvendt proporsjonal med antall arbeidere $N$, kan det skrives som $T = \frac{k}{N}$.

  2. Grafen til Omvendt Proporsjonale Størrelser:

    • Grafen til $y = \frac{k}{x}$ er

en hyperbel.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Hvis $y = \frac{10}{x}$, hva er $y$ når $x = 2$?
  • Tegn grafen til $y = \frac{6}{x}$.

Omvendt proporsjonale størrelser

Leksjon 7.9: Andregradsfunksjoner

🌟 Hva er Andregradsfunksjoner?

Andregradsfunksjoner er funksjoner av formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, hvor grafen er en parabel.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Parabelens Form:

    • Hvis $a > 0$, åpner parabelen oppover.
    • Hvis $a < 0$, åpner parabelen nedover.

  2. Eksempel:

    • Funksjonen $f(x) = x^2 - 4x + 3$ er en parabel som åpner oppover.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Tegn grafen til $f(x) = x^2 - 2x - 3$.
  • Hva er toppunktet til parabelen $f(x) = -x^2 + 4x - 2$?

Andregradsfunksjoner

Leksjon 7.10: Egenskaper ved Andregradsfunksjoner

📊 Hvilke Egenskaper har Andregradsfunksjoner?

Andregradsfunksjoner har egenskaper som toppunkt, bunnpunkt og symmetriakse.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Toppunkt/Bunnpunkt:

    • Toppunkt: Det høyeste punktet på en parabel som åpner nedover.
    • Bunnpunkt: Det laveste punktet på en parabel som åpner oppover.

  2. Symmetriakse:

    • Linjen som går gjennom toppunktet/bunnpunktet og deler parabelen i to like deler.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn toppunktet til $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
  • Hva er symmetriaksen til $f(x) = x^2 + 4x + 4$?

Egenskaper ved andregradsfunksjoner

Leksjon 7.11: Andregradsfunksjoner i Praktiske Situasjoner

🛠️ Hvordan Brukes Andregradsfunksjoner i Praktiske Situasjoner?

Andregradsfunksjoner kan modellere en rekke praktiske situasjoner som bevegelse, økonomi og fysikk.

📚 Grunnleggende Konsepter:

  1. Eksempel på Bevegelse:

    • Funksjonen $s(t) = -5t^2 + 20t$ kan representere høyden $s$ til en ball over tid $t$.

  2. Eksempel på Økonomi:

    • Funksjonen $R(x) = -2x^2 + 12x - 20$ kan representere inntekten $R$ basert på antall solgte enheter $x$.

📝 Øvingsoppgaver:

  • Finn maksimal høyde for en ball gitt ved $s(t) = -4.9t^2 + 19.6t$.
  • Hva er toppunktet for funksjonen $R(x) = -x^2 + 8x - 15$?

Andregradsfunksjoner i praktiske situasjoner

Full Forklaring og Fasit

Tabell for Øvingsoppgaver

Oppgave Delvis Utregning Full Utregning Riktig Svar
$f(2)$ for $f(x) = 3x + 1$ $3 \times 2 + 1$ $6 + 1$ $7$
$f(-1)$ for $f(x) = x^2 - 4x + 7$ $(-1)^2 - 4(-1) + 7$ $1 + 4 + 7$ $12$
$y = 5x$, når $x = 3$ $5 \times 3$ $15$ $15$
$y = \frac{10}{x}$, når $x = 2$ $\frac{10}{2}$ $5$ $5$
Toppunkt for $f(x) = -x^2 + 4x - 2$ $- \frac{b}{2a}$ $- \frac{4}{2(-1)}$ $2$

Eksempel Forklaring

  1. Koordinatsystemet:

    • Plot punktet (4, 5) i koordinatsystemet:
      • Gå 4 enheter til høyre og 5 enheter opp.
      • Svar: Punktet er plassert på (4, 5).

  2. Funksjoner:

    • Finn $f(2)$ for funksjonen $f(x) = 3x + 1$:
      • Erstatt $x$ med 2: $3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7$
      • Svar: $7$

  3. Lineære Funksjoner:

    • For funksjonen $f(x) = 4x - 1$:
      • Skråningen er 4 og y-interceptet er -1.
      • Tegn en linje som går gjennom punktet (0, -1) og stiger med 4 enheter for hver 1 enhet til høyre.

  4. Proporsjonale Størrelser:

    • For funksjonen $y = 5x$, hva er $y$ når $x = 3$?
      • Multipliser: $y = 5 \times 3 = 15$
      • Svar: $15$

  5. Andregradsfunksjoner:

    • For funksjonen $f(x) = -x^2 + 4x - 2$, finn toppunktet:
      • Bruk formelen for toppunktet: $x = - \frac{b}{2a}$
      • Beregn: $x = - \frac{4}{2(-1)} = 2$
      • Svar: $x = 2$

Med disse eksemplene og forklaringene, kan du nå øve på funksjoner og deres egenskaper, og forstå hvordan du kommer frem til riktige svar. Øv gjerne på flere oppgaver for å styrke ferdighetene dine! 📘✨

Leksjon 7.1: Koordinatsystemet

Se skriptet her

Leksjon 7.2: Funksjoner

Se skriptet her

Leksjon 7.3: Grafen til en Funksjon

Se skriptet her

Leksjon 7.4: Tegne Grafer i GeoGebra

Note: GeoGebra is a third-party tool and cannot be directly embedded in Trinket. However, you can use GeoGebra's online platform or application.

Leksjon 7.5: Funksjoner i Hverdagen

Se skriptet her

Leksjon 7.6: Lineære Funksjoner

Se skriptet her

Leksjon 7.7: Proporsjonale Størrelser

Se skriptet her

Leksjon 7.8: Omvendt Proporsjonale Størrelser

Se skriptet her

Leksjon 7.9: Andregradsfunksjoner

Se skriptet her

Leksjon 7.10: Egenskaper ved Andregradsfunksjoner

Se skriptet her

Leksjon 7.11: Andregradsfunksjoner i Praktiske Situasjoner

Se skriptet her

Disse skriptene dekker hvert sitt emne innenfor funksjoner og gir både grafisk og numerisk output. Kommentarene i skriptene forklarer hva koden gjør, og hvordan man kan bruke den til å lære om funksjoner og deres egenskaper.