Hintergrundinformation – Prinzip des Interferometers

Michelson Interferometer

Diese Skizze stellt vereinfacht das Mikroskop dar. Der Schirm ist die Kamera, bei welcher der aufgespaltene Strahl wieder zusammen trifft. Das heißt, es findet eine Interferenz statt.

Um diese Überlagerungserscheinungen zu verstehen, sollte man zunächst das Prinzip der Interferenz betrachten:

Wenn zwei Wellenzüge überlagern, ergibt sich das Ergebnis aus einer Vektoraddition jedes Punktes. Hier interferieren zwei identische Sinuswellen miteinander. Die Amplitude verdoppelt sich demnach, die Frequenz bleibt jedoch die gleiche. Man spricht von der konstruktiven Interferenz.

Das Gegenteil hierzu bildet sozusagen die destruktive Interferenz. Die zwei Sinuswellen sind gegeneinander verschoben, somit der Höhepunkt auf einen Tiefpunkt trifft und diesen auslöscht. Hierbei spricht man von destruktiver Interferenz. Es wird kein Signal von der Kamera empfangen.

Weil optische Interferenzen wegen der kurzen Wellenlänge schon auf kleinste Längenänderungen reagieren, sind Interferometer wichtige Instrumente der Präzisionsmesstechnik geworden.

Bei unserem Mikroskop wird rotes Licht verwendet. Dieses hat eine Wellenlänge von ungefähr 700 Nanometer, was einem 1000stel eines Millimeters entspricht. Aus der Gleichung: Lichtgeschwindigkeit = Wellenlänge x Frequenz wird deutlich, in was für einem kleinen Bereich wir uns befinden. Diese kleinen Größen mit denen wir arbeiten, haben sowohl Vorteile wie auch Nachteile. Beide Seiten werden im folgenden noch deutlich.

Die Wellenlänge im Medium ist kürzer als in der Luft (Wellenlänge im Medium = Wellenlänge / Brechungszahl des Mediums). Durch den "verkürzten Weg" des Lichtes durch das individuelle Objekt, welches sich zwischen dem halbdurchlässigen Spiegel und dem anderen Spiegel befindet, kommt dieser Wellenzug früher an dem Schirm an. Im Vergleich zu den früher erwähnten Abbildungen bedeutet es also, dass die zwei Wellenzüge gegeneinander verschoben sind. Je nachdem, wie dick das Objekt ist, entsteht eine unterschiedliche Interferenz. Mit dem Interferenzmuster wird weitergearbeitet.

Fast Fourier Transformation

Mit Hilfe der FFT können Signale einer Darstellung wie z.B. der Zeitpunkt oder auch der Abstand in eine andere Darstellung in dem Fall Frequenzanteil, Amplitude, Phase umgewandelt werden. Die Informationen werden dabei beibehalten, jedoch ist der Frequenzraum praktischer zum Weiterarbeiten. Ein bestimmter Filter kann unerwünschte Signale herausschneiden. Anschließend wird die inverse Fouriertransformation angewendet und man bekommt das „verbesserte“ Bild. Die FFT baut auf die DFT auf und beschleunigt diese (Durch Ausnutzung der Symmetrien der n-ten Einheitswurzeln)

Schematische Darstellung

1. Mehrere Sinuswellen überlagern sich (wie oben bei der Interferenz erklärt)

2. das Produkt der Überlagerung ist hier im Beispiel ein Rechteck-Signal

3. unterzieht man dieses Rechteck-Signal einer FFT-Analyse, so wird die „Zeit“-Achse in eine „Frequenz“-Achse transformiert: Als Ergebnis erhält man die „spektrale“ Zusammensetzung des Eingangssignals. (–> Man achte auf die ersten drei Striche: diese sind die unter 1. angedeuteten Sinuswellen)

Quelle: https://www.fairaudio.de/lexikon/fourier-transformation/

FFT - Weitere Anwendung: Rauschunterdrückung

Wenn ein Signal durch Rauschen gestört wird, kann man es fouriertransformieren, damit dieses Rauschen entfernt werden kann. Im Frequenzraum interessiert man sich nur für die „hohen Koeffizienten“. Diese werden beibehaltet, um das eigentliche Signal zu rekonstruieren.

1. Bild: Rauschsignal;
2. Bild: Im Fourierraum kann man deutlich das Signal vom Rauschen unterscheiden;
3. Bild: Durch die inverse FFT erhält man das reine Signal

Bildquelle: https://www.math.uni-trier.de/~schulz/Prosem-0405/Arenz.pdf

Mathematik der FFT

Eine FFT kann zunächst als Zerlegung einer gegebenen Funktion in die Sinusfunktionen verstanden werden.

Berechnung von a0:

Wir bilden das bestimmte Integral der rechten Seite von (17a) bzw. (17b) über das Intervall [–π, π]. Da aufgrund von (8) die Integrale über alle auftretenden Sinus- und Cosinusfuntionen verschwinden, trägt nur der erste (konstante) Term bei. Der Wert des Integrals ist gleich π a0. Diesen setzen wir gleich dem Integral der linken Seite, lösen nach a0 auf und erhalten

Berechnung von an für n = 1, 2, 3, ...:

Wir multiplizieren die rechte Seite von (17a) bzw. (17b) mit einer der trigonometrischen Cosinus-Basisfunktionen, beispielsweise cos(3x), und bilden danach das bestimmte Integral über das Intervall [–π, π]. Da aufgrund von (8) – (9b) die Integrale über alle Produkte von verschiedenen Basisfunktionen verschwinden, trägt nur ein einziger Term bei, und zwar jener, in dem cos(3x) mit sich selbst multipliziert wird. Mit (14) ergibt sich der Wert des Integrals zu π a3. Diesen setzen wird gleich dem Integral über das Produkt der linken Seite mit cos(3x) und lösen nach a3 auf. Der gleiche Methode kann mit jedem Cosinusterm durchgeführt werden – der Vorgang ist stets der gleiche –, woraus sich ganz allgemein ergibt:

Die Fourierreihe mit Periode L lautet

Wir erwähnen zum Abschluss noch ein Konzept, das auf nicht-periodische Funktionen angewandt werden kann. Können wir die Periode L immer größer machen, so dass sie letzlich (im Grenzübergang L → ∞) mit ganz R übereinstimmt?

Das ist tatsächlich möglich: Für wachsendes L wird die Größe 2πn/L, die in der Fourierreihe mit Periode L auftritt, bei festgehaltenem n immer kleiner. Die Differenz zweier solcher benachbarter Größen (für n und n + 1) wird ebenfalls immer kleiner. Im Grenzübergang L → ∞ wird k = 2πn/L daher zu einer kontinuierlichen Variable, und die Summe über n in der Fourierreihe wird durch ein Integral ersetzt. Damit erhalten wir so etwas wie die Entwicklung einer gegebenen (nicht-periodischen) Funktion f in Schwingungen beliebiger Frequenzen (also nicht nur in ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz).

Quelle: http://mathe-online.at/mathint/fourier/i.html

In unserem Fall, dem Mikroskop, ist die Fouriertransformation jedoch komplizierter, wie bei dem Beispiel der Musik. Es gibt keine zeitliche Achse, sondern zwei Räumliche.

FFT Notebooks

Um sich die Fourier Transformation besser vorstellen zu können, haben wir Jupyter Notebooks dazu erstellt.

1. Notebook 1
2. Notebook 2