【数学基础】 线性代数 - hippowc/hippowc.github.io GitHub Wiki

什么是向量

线代中最起初的组成部分 -- 向量 什么是向量

• 物理视角：空间中的一个箭头，包含长度和方向两个要素，可以是任意的纬度
• 计算机视角：有序的数字列表，列表长度代表了纬度 -- [2,3]一个竖着的列表，为了和坐标(2,3)区分
• 数学视角：抽象两种观点

向量重要的两个运算

• 向量加法
  • 物理视角：向量平移，首尾相接
  • 计算机视角：对应项相加
  • 向量代表了移动（移动方向和距离）
• 向量数乘
  • 物理视角：向量的缩放
  • 计算机视角：每项都乘以对应数

关键之处在于：

• 这两种视角具有这样的关系，可以相互转化，即，空间与数字运算可以互相转化
• 线性代数为物理学家和计算机学家一种语言，让他们可以通过计算机可以处理的数字来描述并操纵空间
• 可以先在空间上考虑发生了什么，然后在计算机上表示这些变化，从而计算出在屏幕上哪些地方放置像素

看待向量的方式，当想到向量时

• 向量时空间的一个箭头，落在某个坐标系中
• 与物理视角不太相同的是，通常以原点作为起点，而不是在空间任意移动
• 计算机视角，通过向量坐标来理解

线性组合、张成空间与基

看待坐标的方式，譬如(3,2)

• 把每个坐标看做标量，代表他们如何拉伸或者压缩一个向量
• xy坐标系中两个特别向量，i水平向右单位为1，j竖直向上单位为1，然后(x,y)坐标分别是i，j的标量，用以缩放两个标量
• 向量，实际是这两个经过缩放向量的和
• 一个概念：缩放向量冰爷相加

基：

• 基向量不一定是i，j，可以是任意的向量
• 不同的基向量会产生不同的坐标系
• 当我们用数字描述向量时，都依赖于我们正在使用的基
• 向量空间的一组基石张成该空间的一个线性无关的向量集合

线性组合：

• 两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合

张成空间（span）

• 所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合，成为给定向量的张成空间
• 对于大部分两个向量的张成空间是整个二维向量的集合

矩阵与线性变换

线性变换

• 首先【变换】本质上是【函数】的一种花哨的说法，它接受输入，并输出对应结果
• 在线性代数的语境下，考虑的是接受一个向量，并输出另一个向量
• 为什么不直接说【函数】而说【变换】？其实是想这种概念，可视化这个输入-输出的关系
  • 一种理解【向量的函数】的方法是使用运动：如果一个【变换】接受一个向量并输出

线性变换的特点：

• 所有直线变换后还是直线，不能弯曲
• 原点要保持固定

用数值描述线性变换：或者说给出一个向量(-1, 2)如何使用一个公式计算得到变换后的向量 ？

• 只要知道变换后i，j的坐标(xi,yi)(xj,yj)，就能推断出任意向量变换后的位置
• 把这些坐标包装在一个22的格子中，成为22矩阵
• 矩阵就可以用来描述线性变换，可以把这个变换定义为向量的乘法 [a,c],b,d * [x,y] = x[a,c]+y[b,d] = [xa+yb,xc+yd]

关键1：矩阵理解为基向量变换后的坐标集合，每一列为一个基向量的坐标，每个值就是在该纬度变换后的值

关键2：其他任意向量都能表示为基向量的线性组合 -- (x,y)向量可以表示为 xi + yj，线性变换后这个组合仍然成立

矩阵乘法

如何描述连续不同的变换 -- 复合线性变换

• 变换1 * 变换2 = 复合变换 即：矩阵的乘法
• 矩阵相乘的几何意义：就是两个线性变换相继起作用

行列式

线性变换会拉伸或压缩空间的面积，如何描述这个面积的伸缩？

• 单位单元格的面积改变比例，与其他任意形状面积改变的比例是一样的
• 行列式：线性变换改变面积的比例

其他

来源：3Blue1Brown视频