🔍 Unidad 3: Evaluación de la Eficiencia de Algoritmos

✳️ Análisis del Procedimiento misterioso(n)

El propósito de este procedimiento es analizar el crecimiento del número de instrucciones ejecutadas con respecto al tamaño de la entrada n. A continuación se estudia el comportamiento del algoritmo utilizando principios de análisis de complejidad computacional.

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🧩 Algoritmo Propuesto

procedure misterioso(n: integer)
var
    contador, i, j, k : integer
begin
    contador := 0
    for i := 1 to n - 1 do
        for j := i + 1 to n do
            for k := 1 to j do
                contador := contador + 1
end

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📚 Descripción Detallada

El algoritmo cuenta cuántas veces se ejecuta una instrucción elemental: contador := contador + 1. A primera vista, parece un algoritmo cúbico por la presencia de tres bucles anidados. No obstante, un análisis más profundo permite calcular con mayor precisión la cantidad total de iteraciones.

• El ciclo externo (i) se ejecuta desde 1 hasta n - 1, es decir, (n - 1) veces.
• El ciclo medio (j) recorre desde i + 1 hasta n, que varía dinámicamente según el valor de i.
• El ciclo interno (k) se ejecuta desde 1 hasta j, que también varía dinámicamente.

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🧮 Cálculo Teórico del Número de Operaciones

La cantidad total de veces que se incrementa contador se puede modelar como:

[ T(n) = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{k=1}^{j} 1 = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} j ]

Esta suma no se puede simplificar directamente, pero se puede acotar asintóticamente. El valor máximo de j es n, y i va desde 1 hasta n-1. Por lo tanto:

[ T(n) \in \Theta(n^3) ]

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🧪 Ejecución Manual (Prueba de Escritorio para n = 5)

i	j	Rango de k	Iteraciones	Contador Total
1	2	1 → 2	2	2
1	3	1 → 3	3	5
1	4	1 → 4	4	9
1	5	1 → 5	5	14
2	3	1 → 3	3	17
2	4	1 → 4	4	21
2	5	1 → 5	5	26
3	4	1 → 4	4	30
3	5	1 → 5	5	35
4	5	1 → 5	5	40

🔚 Total acumulado de iteraciones: 40

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🧠 Conclusión del Análisis

Este procedimiento tiene una complejidad cúbica en función del tamaño de entrada n. Aunque la lógica parece simple, el comportamiento del tercer bucle en función del segundo lo convierte en un excelente ejemplo de algoritmo con crecimiento polinomial elevado.

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🧮 Análisis del Procedimiento de Multiplicación de Matrices (prod_mat)

La multiplicación de matrices es una operación fundamental en áreas como el álgebra lineal, inteligencia artificial y simulaciones científicas. A continuación se describe un procedimiento clásico para multiplicar dos matrices cuadradas de tamaño n × n.

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🧾 Algoritmo de Multiplicación

procedure prod_mat(n: integer)
var
    i, j, k: integer
begin
    for i := 1 to n do
        for j := 1 to n do begin
            C[i, j] := 0
            for k := 1 to n do
                C[i, j] := C[i, j] + A[i, k] * B[k, j]
        end
end

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🔍 Análisis del Comportamiento

Este algoritmo ejecuta tres bucles anidados, cada uno con un rango de 1 a n. El número total de operaciones básicas (multiplicaciones y sumas) está dado por:

[ T(n) = n \cdot n \cdot n = n^3 ]

🔁 Complejidad temporal: O(n³)
📦 Complejidad espacial: O(n²) (matriz resultante)

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📌 Conclusiones Generales

Procedimiento	Tipo de Operación	Complejidad Temporal
misterioso(n)	Conteo condicional triple	O(n³)
prod_mat(n)	Multiplicación de matrices	O(n³)

Ambos algoritmos, aunque diferentes en naturaleza, comparten una estructura cúbica. Sin embargo, en contextos reales, su comportamiento puede diferir significativamente debido al tipo de operaciones internas (sumas vs multiplicaciones).