Método de Monte Carlo - dagoquevedo/parallelr GitHub Wiki

Introducción

La simulación de Monte-Carlo fue creada para integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas [1,8]. Este método es ideal para situaciones en las cuales algún valor o alguna distribución no se conoce y resulta complicado de determinar de manera analítica [2]. El método se define como sigue

donde f1 es la función que computa el factor estimado en la -ésima iteración, es un número aleatorio con una distribución y f2 es el tamaño de la muestra o número total de estimaciones independientes, el método tiene un error absoluto de la estimación que decrece a razón de , según el teorema del límite central.

Objetivo

El objetivo general de esta práctica es analizar el efecto que tiene el tamaño de la muestra sobre la calidad de los resultados y el tiempo de procesamiento. En específico, desglosamos las actividades en los siguientes objetivos:

  1. Examinar el efecto del tamaño de la muestra en la precisión del estimado de una integral y realizar una comparacion del resultado obtenido con el valor resuelto por Wolfram Alpha, así como el tiempo de ejecución. La integral propuesta para el análisis es la siguiente
  1. Implementar la estimación del valor de propuesta por Kurt [3] con paralelismo y realizar una comparación del resultado obtenido con el valor resuelto por Wolfram Alph, que es aproximadamente
  1. Se tiene la base histórica de la infección por vector del virus Zika [7] correspondiente al estado de Oaxaca, con observaciones de las primeras 34 semanas del año 2016 [6]. Se deberá implementar la técnica propuesta por Kurt [3] para pronosticar las siguientes semanas. Calcular la precisión para los estimadores obtenidos y realizar una comparación de los valores reportados en los boletines posteriores.

Experimentación

Diseño

Se establecen a continuación las condiciones de diseño y definición de los experimentos. En cada uno de los métodos codificados, se tienen dos parámetros de control que afectan el comportamiento de los algoritmo: , que es el número de iteraciones que realiza el método de Monte-Carlos y que define la cardinalidad del conjunto de números aleatorios generados bajo una distribución en cada iteración del método. Por lo anterior, el tamaño de la muestra es .

  1. En el cálculo de aproximación a la integral definida, los parámetros se definen como , discretizado en pasos de 500 y , discretizado en pasos de 100; ejecutando la totalidad del experimento con 20 reinicios. La distribución de los números pseudo-aleatorios esta dada por la función , con límites de iteración en la generación de , discretizado con pasos de . La formula siguiente define el cálculo de la desviación relativa del resultado, donde y son el valor estimado y el computado por Wolfram Alpha, respectivamente

  1. Para el cálculo de aproximación de los parámetros se definen como , discretizado en pasos de 100 y , discretizado en pasos de 10; ejecutando la totalidad del experimento con 20 reinicios independientes. Se utiliza una distribución normal uniforme para la generación de los números pseudo-aleatorios, con límites de generación entre . Igual que el objetivo anterior, se utiliza la desviación relativa cómo evaluación en la calidad del resultado.

  2. Para el pronóstico de los casos subsecuentes de Zika, se proponen dos modelos. Modelo 1: toma como base el modelo propuesto por Kurt [3], el cual genera valores aleatorios usando una distribución normal denotada por donde y , son la media y desviación estándar de la serie de datos histórica, respectivamente. Modelo 2: se propone un modelo que es la combinación de Monte-Carlo y Arima; para este último se hace uso de la función auto.arima para determinar el mejor modelo de Arima a iterar en la simulación de Monte-Carlo. La ejecución se realiza tomando como comparación las semanas del 35 a la 40 del año 2016. Para este experimento sólo se utiliza el parámetro para controlar el número de iteraciones del método de Monte-Carlo. La evaluación de la asertividad del pronóstico es calculada con el WMAPE (por sus siglas en inglés de weighted mean absolute percentage error), definida en la siguiente formula y donde y son el valor estimado y real, respectivamente en la -ésima semana

Condiciones computacionales

Se hace uso de una instancia SO Linux (Ubuntu 16.04) 64-bits, con procesador Intel (R) Core (TM) i7-5600U CPU @ 2.60 GHz y 12 GB de memoria RAM con 2 núcleos y 4 procesadores lógicos, durante la experimentación el cluster hizo uso de 3 núcleos. La aplicación se ha codificado en R, haciendo uso del paquete doParallel [4] que incluye la función foreach y el paquete forecast [5] para el uso de la función auto.arima.

Resultados

La figura 1 muestra el tiempo de ejecución y la desviación del resultado en la estimación de una integral respecto al valor computado por Wolfram Alpha. Se observa como a medida que el tamaño de la muestra aumenta, ocurre también un incremento en el tiempo de ejecución del método. Un efecto positivo ocurre en la calidad del resultado (al disminuir la desviación) conforme aumenta el tamaño la muestra.

En la figura 2 muestra el tiempo de ejecución y la desviación del resultado en la estimación del valor de . Se observa el mismos efecto que el experimento anterior: a medida que el tamaño de la muestra aumenta lo hace también el tiempo de ejecución del método, aunque en este caso el incremento es más notorio en combinaciones de y de mayor tamaño. Un efecto positivo vuelve a ocurrir con la calidad del resultado, al disminuir la desviación conforme aumenta el tamaño la muestra.

Finalmente, en la figura 3 se despliegan los resultados del pronóstico estadístico de los casos posteriores de Zika en el estado de Oaxaca de la semana 35 a la 40 del año 2016, así como su asertividad respecto al valor real. En los resultados de las distintas series de tiempo, el valor de casos reales y las generadas por los estimadores de cada modelo tienen un comportamiento distinto entre si, siendo el Modelo 2 el que presenta una mayor variabilidad. Por otro lado la asertividad del pronóstico para ambos modelos, resulta no ser favorable, observado que el Modelo 2 es el que menos asertividad refleja. Además de lo anterior, no se muestra una diferencia notable en los resultados entre los diferentes números de iteraciones dados por .

Conclusiones

  1. Para los experimentos del cálculo de aproximación de la integral y se confirma que el tamaño de la muestra tiene una relación con la calidad del resultado del estimador, además de obviar el hecho de un incremento en el tiempo de cómputo.

  2. La baja calidad del pronóstico de ambos modelos confirman la incertidumbre existente en la serie de datos. La situación que se pretende estimar se conforma de otras tantas variables del entorno [7] (variables independientes) que afectan el número de casos en cada semana (variable dependiente), por lo cual tratar realizar un pronóstico a través de una metodología de serie de tiempo puede conllevar a resultados de pobre calidad. En este caso se recomienda realizar un levantamiento mayor de estas variables independientes (clima, humedad, región, altitud, estacionalidad, etc.) y modelar el problema como una regresión multivariable.

Bibliografía

  1. P.E. Kloeden, E. Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin, 1992.
  2. S.E. Schaeffer. Práctica 4: Método de Monte-carlo, R paralelo: simulación & análisis de datos, [url].
  3. W. Kurt. 6 Neat Tricks with Monte Carlo Simulations, Count Bayesie, [url].
  4. R. Calaway, S. Weston, D. Tenenbaum. Foreach Parallel Adaptor for the 'parallel' Package, R Package, [url].
  5. R. Hyndman, M. O'Hara-Wild, C. Bergmeir, et al.. Package ‘forecast’, R Package, [url].
  6. Boletín Epidemiológico, Secretaría de Salud - Dirección General de Epidemiología, 2016, [url].
  7. Enfermedad por el virus de Zika. OMS, 2016, [url].
  8. O.M. Ponce. Simulación de Monte Carlo, Simulación de Monte Carlo en Autómatas Celulares, CINVESTAV, 2015, [url].