坐标系的旋转与平移 - chunlieater/chunlifeet GitHub Wiki

• 3d坐标系分三个轴向，其旋转和平移可以看作是三个轴向上变化后的结合，每次运算时只在一个平面内进行。 我们把空间中一个点在原坐标系中的坐标记做P(x,y)，当坐标系发生变换后，这个点在新坐标系中的坐标记做P'(x',y')，坐标系转换就是求P和P'之间的关系。

1. 坐标系的平移 新坐标系和原坐标系如果是平移关系，移动的距离为x轴i，y轴j，那(x,y) = (x'+i,y'+j).
2. 坐标系旋转 新坐标系和原坐标系如果是旋转关系，旋转轴为z，旋转角度为a，那(x,y) = (x'cosa-ysina,y'*cosa+x'*sina)，沿轴向正方向做顺时针移动a为正值，逆时针移动a为负值。

• 等角变换和二等角投影 这是一种特殊的坐标系，用来制作2d游戏的透视地图，相当于计算一个先沿着y轴旋转45度，再沿着x轴旋转-30度的坐标系，在屏幕坐标系上的投影。 设点在屏幕坐标系的坐标为Ps(xs,ys),在自身坐标系（旋转后的坐标系）中的坐标为P'(x',y')，则可以这样推导他们的关系。
• xs = x'*cos45 - z'*sin45
• zs1 = z'*cos45 + x'*sin45
• ys = y'cos-30 -zs1sin-30
• zs2 = zs1*cos-30 + y'*sin-30
• 最后精简为
• xs = x'-z'
• ys = y'*1.2247 +(x'+z')*0.5
• zs2 =(x'+z')*0.866 - y'*0.707 ,zs2在深度排序中有用。
• 如果场景中的所有对象高度相同，那么*1.2247是可以去掉的。
• xs = x'-z'
• ys = y'+(x'+z')*0.5
• 因为一般在自身坐标系中y'都是0,所以进一步简化成
• xs = x'-z'
• ys = (x'+z')*0.5
• 好了，现在可以根据场景的自身坐标系求出它的点在一个2d屏幕坐标系中的坐标了。然后还需要根据这个反推出如果点在屏幕坐标系的一个点上，如何求出它在自身坐标系中的值。
• xs = x' - z'
• ys = y'*1.2247 + (x'+z')*0.5
• 由于y‘一般为0，所以反推为
• x' = ys + xs/2
• y' = 0
• z' = ys - xs/2

如果旋转和平移同时发生，那么一般来说，先将自身坐标系旋转到和原坐标系角度一致，求得点在旋转后的坐标系中的坐标值，再进行坐标系平移，求得最终结果。