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矩阵乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

• 当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。
• 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
• 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

Unity 中的4X4矩阵

• 平移矩阵

  在三维齐次坐标表示中，任意点P = (x, y, z)通过将平移距离tx、ty和tz，加到P的坐标上而平移到位置P’= (x’, y’, z’)

  x’= x + tx, y’= y + ty,z’= z + tz

  用齐次矩阵表示为：

  | 1 0 0 tx | | x |   | x + tx |
  | 0 1 0 ty | | y | = | y + ty |
  | 0 0 1 tz | | z |   | z + tz |
  | 0 0 0 1  | | 1 |   | 1      |
  

• 缩放矩阵

  | kx 0 0 0 | | x |   | kx * x |
  | 0 ky 0 0 | | y | = | ky * y |
  | 0 0 kz 0 | | z |   | kz * z |
  | 0 0 0  1 | | 1 |   | 1      |
  

  如果kx=ky=kz，则称为是统一缩放。否则称为非统一缩放。

• 为什么模型的变换是4X4而不是3X3的矩阵变换？

  从上面的平移矩阵和缩放矩阵，我们不难看出，如果我们对模型先缩放再平移，那么3X3矩阵是不够的，所以采用多一维的扩充矩阵来实现平移。

• 旋转矩阵

  我们在处理旋转时可以绕任何轴旋转，但是绕平行于坐标轴的轴旋转时最容易的，现在我们来处理绕z轴旋转，旋转的表达式为：

  https://github.com/chaolunner/CloudNotes/wiki/Images/Technology/matrix-rotation.png

  x' = ( cosθ, sinθ)
  y' = (-sinθ, cosθ)
  

  x' =  xcosθ + ysinθ
  y' = -xsinθ + ycosθ
  z' =  z
  

  参数θ是绕Z轴的旋转角度，写成矩阵形式为：

  | cosθ  sinθ 0 0 | | x |   |  xcosθ + ysinθ |
  | -sinθ cosθ 0 0 | | y | = | -xsinθ + ycosθ |
  | 0     0    1 0 | | z |   |  z             |
  | 0     0    0 1 | | 1 |   |  1             |
  

  绕Y轴旋转则是：

  | cosθ  0 sinθ 0 | | x |   |  xcosθ + zsinθ |
  | 0     1    0 0 | | y | = |  y             |
  | -sinθ 0 cosθ 0 | | z |   | -xsinθ + zcosθ |
  | 0     0    0 1 | | 1 |   |  1             |
  

  绕X轴旋转则是：

  | 1  0    0    0 | | x |   |  x             |
  | 0  cosθ sinθ 0 | | y | = |  ycosθ + zsinθ |
  | 0 -sinθ cosθ 0 | | z |   | -ysinθ + zcosθ |
  | 0  0    0    1 | | 1 |   |  1             |