カーネル関数 - YuriOku/1D_SPH GitHub Wiki

SPH法ではカーネル近似によって場を表現します。 カーネル近似の下では、物理量 $f$ は

$$ f(x) = \int f(x') W(|x - x'|, h) dx' $$

と表されます。ここで$W$ は粒子の広がりを表すカーネル関数、 $h$はカーネル関数の広がりを表すスムージング長です。

カーネル関数は以下の3つの性質を満たさなければいけません：

  • 規格化されている

$$ \int W(\vec{r}, h) dV = 1 $$

  • $h \rightarrow 0$の極限で $\delta$関数になる。

  • 2回微分可能

カーネル近似

SPH粒子の半径にあたる長さ(カーネル関数の値が0になる距離)はカーネルサポート半径と呼ばれ、一般的にはカーネルサポート半径$H = 2h$です。 ただし、宇宙物理学の分野でよく使われているSPHシミュレーションコードGADGET (Springel et al. 2001; Springel 2005; Springel et al. 2020)では $H = h$ が採用されており、1D_SPHでもこの定義を採用しています。 通常3次元シミュレーションでは、カーネルサポート半径内に含まれる粒子の数が一定値 $N_H$ となるようにスムージング長を決めます。 1次元コードである1D_SPHでは、

$h = \eta \left(\frac{m}{\rho}\right)$

となる $h$ を反復法によって求めます。ここで $\eta$ はパラメータで、標準値は $\eta = 2.4$ としています。

Cubic spline 関数

最も標準的なカーネル関数は3次スプライン関数 (Monaghan & Lattanzio 1985)

$$ W(r, h) = C \begin{cases} 1 - 6\left(\frac{r}{h}\right)^2 + 6\left(\frac{r}{h}\right)^3 & \left( 0 < \frac{r}{h} \leq \frac{1}{2} \right)\ 2\left( 1- \frac{r}{h} \right)^3 &\left( \frac{1}{2} < \frac{r}{h} \leq 1\right)\ 0 &\left( 1 < \frac{r}{h} \right) \end{cases} $$

です。ここで $C$ は規格化定数で、1次元では $C = \frac{4}{3h}$ です。 カーネル関数の半径微分は、

$$ \frac{\partial W(r, h)}{\partial r} = \frac{C}{h} \begin{cases} -12\left(\frac{r}{h}\right) + 18\left(\frac{r}{h}\right)^2 & \left( 0 < \frac{r}{h} \leq \frac{1}{2} \right)\ 6\left( 1- \frac{r}{h} \right)^2 &\left( \frac{1}{2} < \frac{r}{h} \leq 1\right)\ 0 &\left( 1 < \frac{r}{h} \right) \end{cases} $$

です。 スプライン関数シリーズには、より高次な Quartic spline (4次), Quintic spline (5次),... 関数もあります。

Wendland C2 関数

Wendland C2関数 (Wendland 1995)

$$ W(r, h) = C \begin{cases} \left(1 - \frac{r}{h} \right)^3 \left( 1 + 3\frac{r}{h} \right) & \left( \frac{r}{h} \leq 1 \right) \ 0 & \left( \frac{r}{h} > 1 \right) \end{cases} $$

もよく使われるカーネル関数です。1次元では規格化定数は $C = \frac{5}{4h}$ です。 Wendland カーネルは、spline カーネルで近傍粒子数を大きくしたときに見られる pairing instability と呼ばれる数値不安定性を避けることができます (Dehnen & Aly 2012)。 Wendland C2関数の微分は

$$ \frac{\partial W(r, h)}{\partial r} = \frac{C}{h} \begin{cases} -\frac{4r}{h}\left(1 - \frac{r}{h} \right)^2 & \left( \frac{r}{h} \leq 1 \right) \ 0 & \left( \frac{r}{h} > 1 \right) \end{cases} $$

です。Wendland シリーズにも、より高次なC4, C6関数があります。

参考文献

  • Dehnen, W. and Aly, H., “Improving convergence in smoothed particle hydrodynamics simulations without pairing instability”, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 425, no. 2, pp. 1068–1082, 2012. doi:10.1111/j.1365-2966.2012.21439.x.
  • Monaghan, J. J. and Lattanzio, J. C., “A refined particle method for astrophysical problems”, Astronomy and Astrophysics, vol. 149, no. 1, pp. 135–143, 1985.
  • Springel, V., Yoshida, N., and White, S. D. M., “GADGET: a code for collisionless and gasdynamical cosmological simulations”, New Astronomy, vol. 6, no. 2, pp. 79–117, 2001. doi:10.1016/S1384-1076(01)00042-2.
  • Springel, V., “The cosmological simulation code GADGET-2”, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 364, no. 4, pp. 1105–1134, 2005. doi:10.1111/j.1365-2966.2005.09655.x.
  • Springel, V., Pakmor, R., Zier, O., and Reinecke, M., “Simulating cosmic structure formation with the GADGET-4 code”, arXiv e-prints, 2020.
  • Wendland, H. "Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree." Advances in computational Mathematics 4.1, 389-396, 1995