Index

  1. Domain
    - 1.1. Time Domain
    - 1.2. Frequency Domain

  2. Fourier Transform
    - 2.1. Fourier Transform
    - 2.2. DFT
    - 2.3. FFT

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1. Domain

• 관점에 따라 분석내용과 방식이 달라지는데, 공학에서는 2가지 관점(시간과 주파수)에서 주로 분석이 이루어짐

1.1. Time Domain (시간 영역)

• 시간의 관점에서 해석

• 시간에 따른 신호 크기의 변화(X축은 시간, Y축은 신호의 크기)

  • 아래 그림의 Clock Wave form을 보면, Clock 주기, Rise time 등의 정보 확인 및 clock frequency 계산 가능

1.2. Frequency Domain (주파수 영역)

• 주파수(주기적인 현상이 단위 시간 동안 몇 번 일어났는지를 뜻하는 용어, 1초당 발생하는 반복의 수, 단위는 $[Hz]$) 관점에서 해석(Signal/Power를 분석하는 것에 유용하여 사용)
  • 여기서, 모든 주파수는 Sine Wave(사인 함수)를 통해서 나타낼 수 있음
      ※ Sine 함수의 4가지 특성(이 특성으로 주파수를 표현하고 해석할 수 있음)
        - Time Domain의 함수를 단일한 함수로 묘사할 수 있다.
        - 다른 주파수를 가지고 있는 Sine wave는 직교한다(직교 함수란 함수를 곱해서 내적 할 경우 0의 세기를 갖는 함수를 뜻하는 용어로, 직교성을 이용하면 두 함수를 분리할 수 있다)
        - 수학적으로 잘 정리되어짐
        - 모든 부분에서 값이 존재(미분 값 또한 존재함)

2. 퓨리에 변환(Fourier Transform)

• 푸리에 변환은 푸리에 급수로부터 유도된다.

• 퓨리에 변환은 시간이나 공간에 대한 함수를 시간 또는 공간 주파수 성분으로 분해하는 것으로,
  시간에 대한 함수를 푸리에 변환하면 복소수 함수 형태를 가지는 주파수의 진폭과 각도가 얻어진다.
  주파수에서의 진폭은 원래 함수를 구성하던 그 주파수 성분의 크기를 나타내고, 편각은 기본 사인 곡선과의 위상 차를 나타낸다.
  ※ 푸리에 변환된 결과물로부터 원래 함수로 복원할 수도 있는데, 이를 푸리에 역변환이라 한다.

• 왼쪽의 시간에 대한 파형이 푸리에 변환에 의해 오른쪽의 주파수 파형으로 바뀔 수 있다.

• 반대로, 주파수 파형이 푸리에 역변환 식에 의해 왼쪽의 시간에 대한 파형으로 변환될 수 있다
  ※ 푸리에 변환식의 의미는 원래의 "신호"를 그 "신호를 이루는 주파수 성분의 그림자로 표현하는 것"이다.

2.1. 이산 푸리에 변환 (Discrete Fourier Transform, DFT)

• DFT은 이산적인 시간 신호(입력)를 이산적인 주파수 신호(출력)로 변환하는 것으로, 디지털 신호 분석과 같은 분야에 사용된다.
  : 이산 시간 신호 → 이산 주파수 신호
• DFT은 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, FFT)을 이용해 빠르게 계산할 수 있다.

※ 이산(離散) 신호는 시간과 시간 사이가 연속이 아닌, 간격이 있는 신호를 의미한다. 즉, 1초, 2초, 3초, ...처럼 1초 간격으로만 값이 있거나, 0.1ms 마다 값이 있거나 하는 등, 시간을 기준으로 해서 드문드문 값이 있는 신호를 말함.
연속 신호는 시간과 시간 사이에 빈틈이 없다. 주파수 연속이란 것도 주파수와 주파수 사이에 어떠한 주파수라도 있다는 것을 의미한다.
예를 들어, mp3로 저장된 음악, mp4로 저장된 영상. 이러한 것들 모두 시간에 대해 연속된 음악신호, 영상신호가 아닌, 유한한 간격을 가진 신호들을 연결한 것이고, 그 간격이 사람이 인지하지 못할 정도로 짧기때문에 연속 신호 처럼 받아들이는 것이다.

2.2. 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, FFT)

• FFT는 DFT와 역변환을 빠르게 수행(계산량을 줄여 속도를 줄이는 방식)하는 알고리즘
  • 시간 프레임으로 잘라서 처리.
  • 프레임으로 자른 신호를 분석 시, 프레임의 양 끝에 불연속성이 발생함.
    ※ 이 불연속성은 주파수 스펙트럼에서 노이즈 처럼 동작하며, 이러한 노이즈 현상을 spectal leakage 라고 부른다.
    이러한 노이즈를 제거하기 위해 윈도우 함수를 사용해서 불연속성을 줄인다.

※ DFT의 수식을 그대로 이용해서, 실제 신호에 대한 푸리에 변환을 하면, 계산량이 너무 많음.
  - 실수와 복소수와의 곱 연산을 $N^2$회 덧셈연산은 $N(N-1)$회 수행한다.