Exercise 2.11 - The-Art-of-Counting-2025/Exercise GitHub Wiki
Statement
$S\cup T=\emptyset$ ใจใใฆใ้ ๅ $\pi\in P(S)$ ใจ $\sigma \in P(T)$ ใ่ใใใ $\pi$ ใจ $\sigma$ ใฎ shuffle (ๅคใช่จๅทใฎใใค) ใๆฌกใงๅฎ็พฉ๏ผ
$\pi\ {\tiny\text{shuffle}}\ \sigma=\lbrace \tau\in P(S\uplus T)\mid\pi \text{ and }\sigma\text{ ใฏ }\tau\text{ ใฎ้จๅๅ }\rbrace$
ไพใใฐใ $31{\tiny\text{shuffle}}24=\lbrace 3124,3214,3241,2314,2341,2431\rbrace$ ใงใใใ
้ ๅใฎ็ทๅฝข็ตๅใใใใใใใใฏใใซใงใใใฎใจๅๆงใซใใฆใจใใไพใใฐ
$6(3124)-7(3241)-9(3124)+(3241)=-3(3124)-6(3241)$
ใใใฆใ้ ๅใฎ้ๅใฏใใใฎ่ฆ็ด ใฎไฟๆฐใใในใฆ $1$ ใจใใฆ็ทๅใใจใฃใใใฎใ่กจใใใใใจใๆฌกใฎใใใซๆธใ๏ผ
$31\ {\tiny\text{shuffle}}\ 24=3124+3214+3241+2314+2341+2431$
ใใใฆใใฎใจใใ $31\ {\tiny\text{shuffle}}\ 24$ ใ้ๅใ่กจใใๅใ่กจใใฎใใฏใๆ่ใงๅบๅฅใใใจใใใ
ๆฌกๅผใ่จผๆใใ๏ผ
ใใใงใ็ทๅใฏ $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k =12\ldots n$ ใชใ้ฃ็ตๅ จไฝใใใใใใฎใจใใใไพใใฐใ $n=3$ ใฎใจใใ้ฃ็ตๅ จไฝใฏ $123=1\cdot 2\cdot 3=1\cdot 23=12\cdot 3=123$ ใงใใใ
Hint : $w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \cdots \ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ ใซๅซใพใใ้ ๅ $v$ ใ่ใใๆฌกใฎ (i) (ii) ใๆบใใๆๅคงใฎ $j\geq 0$ ใใจใใ
(i) $|w _ 1|=|w _ 2|=\ldots =|w _ j|=1$ (ใใฎใจใ $w _ i=i$ ใงใใ)
(ii) $j\ldots 21$ ใฏ $v$ ใฎ้จๅๅใงใใใ
$v$ ๅ ใซใใใ $j$ ใจ $j+1$ ใฎไฝ็ฝฎ้ขไฟใไฝฟใฃใฆใ merge/split ใ่กใใ็ฐใชใ็ฌฆๅทใใใค shuffle ใจใใฆๅๅบฆ $v$ ใ็พใใๅ ดๅใ่ฆใคใใใ
Solution (Hint ใฎ้ใใซใใ)
้ ๅ $v\neq n\ldots 21$ ใๅบๅฎใใใ
้ฃ็ต $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k$ ใงใใฃใฆ $v\in w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \ldots\ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ ใชใใใฎๅ จไฝใๅฎ็พฉๅใใใณๅคๅ $D$ ใจใใๅๅ $f:D\mapsto D$ ใๅฎ็พฉใใใ
$d=(w _ i,\ldots ,w _ k)\in D$ ใซใคใใฆใ ใพใ Hint ใฎ้ใใซ $j$ ใใจใใใใฎใจใ $f(d)$ ใๆฌกใฎๆ้ ใงๆฑบใใใ
-
(case Split) $j=0$ ใพใใฏ $j+1$ ใ $j$ ใใใๅใซ็พใใใชใใฐใ $|w _ {j+1}|\geq 2$ ใงใใ๏ผใชใใชใใ (ii) ใฏ $j+1$ ใซใคใใฆๆบใใใใฆใใ๏ผใ $w _ {j+1}$ ใใ $j+1$ ใๅใ้ขใใฆๅพใใใ้ทใ $k+1$ ใฎ้ฃ็ตใ $f(d)$ ใจใใใ
-
(case Merge) $j+1$ ใ $j$ ใใใๅพใซ็พใใใชใใฐใใ$w _ j$ ใจ $w _ {j+1}$ ใ้ฃ็ตใใฆๅพใใใ้ทใ $k-1$ ใฎ้ฃ็ตใ $f(d)$ ใจใใใ
$d$ ใจ $f(d)$ ใฏใ $k$ ใฎๅถๅฅใ็ฐใชใใใใ $f$ ใฏ sign-alternating ใ
$f$ ใ involution ใงใใใใจใ็คบใใ
- $j=1$ ใใค case Merge ใฎๅพใ $f(d)$ ใซใใใฆ $j=0$ ใจใชใใ ($|w _ 1| \geq 2$)
- $j\geq 2$ ใใค case Merge ใฎๅพใ $f(d)$ ใซใใใฆ $j+1$ ใฏ $j$ ใใใๅใซ็พใใใ case Split ใฎๆกไปถใๆบใใใใชใใชใใ $f(d)$ ใซใใใฆ $(j+1)j\ldots 21$ ใ้จๅๅใงใใใใใ
- case Split ใฎๅพใ $f(d)$ ใซใใใฆ $j+1$ ใฏ $j$ ใฎๅพใซ็พใใใใชใใชใใ $j$ ใฏ $1$ ใ ใๅขๅ ใใใ
ใใฃใฆใ $f(f(d))$ ใจใใใจใ็ๆนใฎ $f$ ใฏ case Split ใงใใฃใฆใใไธๆนใฏ case Merge ใงใใใใใฃใฆ $f(f(d))=d$ ใ
ใคใพใ $f$ ใฏ sign-alternating involution ใงใใใ sign-alternating involution ใฎๅญๅจใซใใใไธๅผใซใใใฆ $v\neq n\ldots 21$ ใชใ $v$ ใฎไฟๆฐใฏ $0$ ใงใใใ
ๆๅพใซใ $(n\ldots 21)$ ใ shuffle ใง็ๆใใใใซใฏใใในใฆใฎ $i$ ใง $|w _ i|=1$ ใงใชใใใฐใชใใใๅพใฃใฆไฟๆฐใฏ $(-1)^n$ ใงใใใ
Solution (j ใฎๅใๆนใๅคใใ)
้ ๅ $v\neq n\ldots 21$ ใๅบๅฎใใใ
้ฃ็ต $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k$ ใงใใฃใฆ $v\in w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \ldots\ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ ใชใใใฎๅ จไฝใๅฎ็พฉๅใใใณๅคๅ $D$ ใจใใๅๅ $f:D\mapsto D$ ใๅฎ็พฉใใใ
$v$ ใซๅฏพใใฆใ $j\ldots 21$ ใ $v$ ใฎ้จๅๅใงใใใใใชๆๅคงใฎ $j$ ใใจใใ $|w _ 1|=\ldots =|w _ {j-1}| = 1$ ใงใใใ $d=(w _ i,\ldots ,w _ k)\in D$ ใซใคใใฆใ $f(d)$ ใๆฌกใฎๆ้ ใงๆฑบใใใ
-
(case Split) $|w _ j|\geq 2$ ใงใใใจใใ $w _ j$ ใใ $j$ ใๅใ้ขใใฆๅพใใใ้ทใ $k+1$ ใฎ้ฃ็ตใ $f(d)$ ใจใใใ $f(d)$ ใซใใใฆใ $|w _ j|=1$ ใงใใใ
-
(case Merge) $|w _ j|=1$ ใงใใใจใใ $w _ j$ ใจ $w _ {j+1}$ ใ้ฃ็ตใใฆๅพใใใ้ทใ $k-1$ ใฎ้ฃ็ตใ $f(d)$ ใจใใใ $f(d)$ ใซใใใฆใ $|w _ j|\geq 2$ ใงใใใ
$d$ ใจ $f(d)$ ใฏใ $k$ ใฎๅถๅฅใ็ฐใชใใใใ $f$ ใฏ sign-alternating ใไปฅไธใซใใฃใฆใ $f$ ใ involution ใงใใใใจใๆใใใใคใพใ $f$ ใฏ sign-alternating involution ใงใใใ
sign-alternating involution ใๆงๆใใใใฎใงใไธๅผใซใใใฆ $v\neq n\ldots 21$ ใชใ $v$ ใฎไฟๆฐใฏ $0$ ใงใใใ
ๆๅพใซใ $(n\ldots 21)$ ใ shuffle ใง็ๆใใใใซใฏใใในใฆใฎ $i$ ใง $|w _ i|=1$ ใงใชใใใฐใชใใใๅพใฃใฆไฟๆฐใฏ $(-1)^n$ ใงใใใ
by Nachia (thanks to leaf1415)