Exercise 2.11 - The-Art-of-Counting-2025/Exercise GitHub Wiki

Statement

$S\cup T=\emptyset$ として、順列 $\pi\in P(S)$ と $\sigma \in P(T)$ を考える。 $\pi$ と $\sigma$ の shuffle (変な記号のやつ) を次で定義：

$\pi\ {\tiny\text{shuffle}}\ \sigma=\lbrace \tau\in P(S\uplus T)\mid\pi \text{ and }\sigma\text{ は }\tau\text{ の部分列 }\rbrace$

例えば、 $31{\tiny\text{shuffle}}24=\lbrace 3124,3214,3241,2314,2341,2431\rbrace$ である。

順列の線形結合を、それらがベクトルであるのと同様にしてとる。例えば

$6(3124)-7(3241)-9(3124)+(3241)=-3(3124)-6(3241)$

そして、順列の集合は、その要素の係数をすべて $1$ として総和をとったものを表す。すると、次のように書く：

$31\ {\tiny\text{shuffle}}\ 24=3124+3214+3241+2314+2341+2431$

そしてこのとき、 $31\ {\tiny\text{shuffle}}\ 24$ が集合を表すか和を表すのかは、文脈で区別するとする。

次式を証明せよ：

ここで、総和は $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k =12\ldots n$ なる連結全体をわたるものとする。例えば、 $n=3$ のとき、連結全体は $123=1\cdot 2\cdot 3=1\cdot 23=12\cdot 3=123$ である。

Hint : $w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \cdots \ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ に含まれる順列 $v$ を考え、次の (i) (ii) を満たす最大の $j\geq 0$ をとる。

(i) $|w _ 1|=|w _ 2|=\ldots =|w _ j|=1$ (このとき $w _ i=i$ である)

(ii) $j\ldots 21$ は $v$ の部分列である。

$v$ 内における $j$ と $j+1$ の位置関係を使って、 merge/split を行い、異なる符号をもつ shuffle として再度 $v$ が現れる場合を見つけよ。

Solution (Hint の通りにやる)

順列 $v\neq n\ldots 21$ を固定する。

連結 $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k$ であって $v\in w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \ldots\ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ なるもの全体を定義域および値域 $D$ とする写像 $f:D\mapsto D$ を定義する。

$d=(w _ i,\ldots ,w _ k)\in D$ について、 まず Hint の通りに $j$ をとる。このとき $f(d)$ を次の手順で決める。

• (case Split) $j=0$ または $j+1$ が $j$ よりも前に現れるならば、 $|w _ {j+1}|\geq 2$ である（なぜなら、 (ii) は $j+1$ について満たされている）。 $w _ {j+1}$ から $j+1$ を切り離して得られる長さ $k+1$ の連結を $f(d)$ とする。

• (case Merge) $j+1$ が $j$ よりも後に現れるならば、　$w _ j$ と $w _ {j+1}$ を連結して得られる長さ $k-1$ の連結を $f(d)$ とする。

$d$ と $f(d)$ は、 $k$ の偶奇が異なるから、 $f$ は sign-alternating 。

$f$ が involution であることを示す。

• $j=1$ かつ case Merge の後、 $f(d)$ において $j=0$ となる。 ($|w _ 1| \geq 2$)
• $j\geq 2$ かつ case Merge の後、 $f(d)$ において $j+1$ は $j$ よりも前に現われ、 case Split の条件を満たす。なぜなら、 $f(d)$ において $(j+1)j\ldots 21$ が部分列であるから。
• case Split の後、 $f(d)$ において $j+1$ は $j$ の後に現れる。なぜなら、 $j$ は $1$ だけ増加する。

よって、 $f(f(d))$ としたとき片方の $f$ は case Split であってもう一方は case Merge であり、よって $f(f(d))=d$ 。

つまり $f$ は sign-alternating involution である。 sign-alternating involution の存在により、与式において $v\neq n\ldots 21$ なる $v$ の係数は $0$ である。

最後に、 $(n\ldots 21)$ が shuffle で生成されるには、すべての $i$ で $|w _ i|=1$ でなければならず、従って係数は $(-1)^n$ である。

Solution (j の取り方を変える)

順列 $v\neq n\ldots 21$ を固定する。

連結 $w _ 1\cdot w _ 2\cdot\ldots\cdot w _ k$ であって $v\in w _ 1\ {\tiny\text{shuffle}}\ \ldots\ {\tiny\text{shuffle}}\ w _ k$ なるもの全体を定義域および値域 $D$ とする写像 $f:D\mapsto D$ を定義する。

$v$ に対して、 $j\ldots 21$ が $v$ の部分列であるような最大の $j$ をとる。 $|w _ 1|=\ldots =|w _ {j-1}| = 1$ である。 $d=(w _ i,\ldots ,w _ k)\in D$ について、 $f(d)$ を次の手順で決める。

• (case Split) $|w _ j|\geq 2$ であるとき、 $w _ j$ から $j$ を切り離して得られる長さ $k+1$ の連結を $f(d)$ とする。 $f(d)$ において、 $|w _ j|=1$ である。

• (case Merge) $|w _ j|=1$ であるとき、 $w _ j$ と $w _ {j+1}$ を連結して得られる長さ $k-1$ の連結を $f(d)$ とする。 $f(d)$ において、 $|w _ j|\geq 2$ である。

$d$ と $f(d)$ は、 $k$ の偶奇が異なるから、 $f$ は sign-alternating 。以上によって、 $f$ が involution であることも明らか。つまり $f$ は sign-alternating involution である。

sign-alternating involution が構成されたので、与式において $v\neq n\ldots 21$ なる $v$ の係数は $0$ である。

最後に、 $(n\ldots 21)$ が shuffle で生成されるには、すべての $i$ で $|w _ i|=1$ でなければならず、従って係数は $(-1)^n$ である。

by Nachia (thanks to leaf1415)