概率条件概率与贝叶斯定理

更新：2026-10-13；状态：可用；验证范围：教材、原始研究或官方文档核对；概念与方法说明。

区分事件概率和条件概率，理解贝叶斯公式怎样结合先验与观测证据。

条件改变问题

$P(A)$表示事件A的概率；$P(A\mid B)$表示已知B发生时A的概率。二者通常不同。$P(A\mid B)$也不等于$P(B\mid A)$，这正是把P值读成“零假设为真概率”的常见错误。

若 $P(B)>0$，有 $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$。独立事件满足 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$；不相交事件则不能同时发生。两件非零概率事件不相交，通常反而不是独立。

一个完整算例

设10000个对象中100个具有某状态；测量对该状态的检出率为90%，对其他对象的误报率为5%。期望检出90个真实状态对象，同时误报495个。得到阳性结果后，真正具有该状态的比例约为 $90/(90+495)=15.4%$。

这里“状态存在时容易检出”与“检出后状态很可能存在”是不同问题；状态基率改变后，后者也会改变。这是人工概率例子，不是任何实际检测系统的性能数据。

贝叶斯公式

$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$$

先验表示观测当前证据前的概率，似然描述不同状态下产生观测的方式，后验表示结合证据后的概率。连续参数的表达使用密度与积分，不能把某一点的密度当作该点的概率。

下一步读随机变量期望方差与协方差、频率学派与贝叶斯推断。正式教材见Harvard Stat 110公开课程资料。