线性模型与混合模型

更新：2026-10-26；状态：可用；验证范围：官方/原始来源核对；标准库教学算例已实跑；专业流程范围见正文。

回归先描述条件均值，混合模型再为样本间相关与层级建立协方差。本页不按“高级/低级”选模型，而要求先回答：观察单位是什么，想估计哪个对比，哪些记录共享信息？读完应能写出X、Z、固定与随机效应，并区分GLM的两种常见含义。

从一个条件均值开始

线性模型写 $y=X\beta+e$：y为n维响应，X为n×p设计矩阵，包含截距、研究变量、协变量及需要的交互；β为相应效应。普通最小二乘最小化残差平方和。若X列满秩，$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$是公式表达，计算上优先用分解求解而非显式求逆。

“线性”指对参数线性，X可包含年龄平方、分类哑变量或交互。分类组别不是把1/2/3编码自动当等距连续值；加入截距及全部类别指示列会共线。固定效应也不意味着变量在样本中不变，而是其参数在模型中按固定未知量处理。

OLS系数的计算不要求y本身正态。传统精确t/F推断还涉及误差独立、方差结构及条件正态等假设；真实数据可以使用合适的稳健推断，但它不能修复混杂、错位样本或不可识别的设计。应看残差与模型条件，不是先对所有原始变量做一个正态检验。

混合模型添加的是哪种结构

写 $y=X\beta+Zu+e$，设 $u\sim N(0,G)$、$e\sim N(0,R)$且独立，则边际均值Xβ、边际协方差 $V=ZGZ^T+R$。这里G、R已经是绝对协方差，若另用相对结构乘σ²，必须重新注明，避免重复乘方差。

重复测量可用对象随机截距，表示同一人的记录共享偏移；随机斜率表示对象的变化轨迹不同。GWAS可用基因组关系K构成遗传协方差；这不同于把群体标签随意作为随机截距。模型应由设计和目标决定，不能只因为有分类变量就一律设随机。混合模型官方例解

100条记录为什么不是100份独立信息

设10名供体各10次测量，随机截距方差4、残差方差1。组内相关 $ICC=4/(4+1)=0.8$。在平衡、可交换的简化均值问题中，设计效应 $DE=1+(m-1)ICC=8.2$，100条记录的均值方差相当于约100/8.2=12.20条独立记录。

这是均值方差的教学比较，不是混合模型检验自由度公式，也不能说因此真的有12.2个供体。增加同一个人的重复主要改善其测量信息，不能自动替代增加独立供体。更复杂的随机斜率、缺失或不均衡设计没有这一个统一换算式。

在GWAS与GS中读同一个模型

GWAS可写 $y=X\beta+x_j a_j+u+e$，逐点检验aj；GS更关心训练到候选的遗传预测u*。相同K并不代表检验与预测目标相同。固定效应调整均值，相关结构改变估计权重和标准误；两者都要与表型、样本集合和变换一致。GEMMA原始方法

二分类结局若采用logistic链接，进入广义线性/广义混合模型，OR、尺度和算法都不同。“GLM”有时指general linear model，有时指generalized linear model，阅读软件输出必须看其链接、分布与实际检验。广义线性模型与逻辑回归提供后者的细节。

从输入到结果的检查顺序

先按ID对齐y/X/Z与关系矩阵；列出缺失和删除；检查设计秩及协变量共线；拟合相应方差和效应；查看残差、异常点、方差边界及数值停止；最后报告预先定义的对比、单位、区间与方法。批次与处理完全重合时，X无法分开两种效应，换成混合模型也不会凭空增加可辨别信息。

输出β、随机效应预测、方差组分与标准误各有对象。BLUP预测的随机效应不应直接套普通OLS系数P值。REML和给定参数的方程求解见GS中的REML混合模型方程与求解；预测场景的训练/测试划分另读数据泄漏与交叉验证。

动手：运行后先对照什么

在下载项目的根目录执行；只需Python 3标准库，不安装专业统计包：

python3 examples/methods_genetics_demo.py --case lmm

应得到ICC=0.8、design_effect=8.2、variance_equivalent_n≈12.1951。先用4和1算相关，再代入每供体10条记录。

本例只演示平衡随机截距下的均值方差膨胀，没有拟合LMM、估计REML、计算检验自由度或单细胞差异P值。

命令只向终端打印JSON。若要保存所有22个小例，可用python3 examples/methods_genetics_demo.py --output examples/output/methods-genetics-practice1；目录必须新建或为空，已有结果不会被覆盖。源代码见标准库方法算例。

排错：先定位原因再改参数

症状	可能原因	下一步检查
系数报奇异或不可估	哑变量重复、完全混杂或常数列	检查X秩与每组/批次组合
重复越多P值异常小	把同一对象记录当独立	确认独立单位及随机/残差结构
随机效应方差接近0	边界最优或信息不足	核对设计、记录数与模型可识别性

自测与答案

1. 线性模型要求响应变量服从正态吗？ 不是对原始y的无条件要求；常见精确推断假设主要针对给定X后的误差结构。

2. 固定效应与随机效应能按变量是否分类来选吗？ 不能，二者由目标、抽样层级和协方差假设决定。

原有实践与延伸入口

正态性方差齐性与模型诊断；GWAS软件选择与比较；GBLUP与rrBLUP原理及实现；关联模型中的协变量与残差；方差分析交互作用与对比；基础算法可复现练习；GEMMA原始方法；Bioconductor设计矩阵教程。

学习顺序、前置与练习清单见方法与算法系统学习指南。

公式里的矩阵、下标或对数不熟时，可回查读懂方法公式的最小数学基础。