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方差分析（ANOVA）通过比较模型解释与未解释的变异，检验若干均值是否满足特定约束。它属于线性模型，不只是“三组以上做一个P”。读完应能分清总体F检验、预设对比和交互作用，并手算一次差中之差。

前置为t检验配对设计与Welch检验与线性模型与混合模型。独立、配对、重复测量和混合设计需要不同误差结构。

k组独立观测，H0:μ1=…=μk。总平方和拆成组间SSB=∑ng(ȳg−ȳ)²与组内SSW=∑(yig−ȳg)²；F=[SSB/(k−1)]/[SSW/(N−k)]。若组均值差相对于组内噪声很大，F增大。经典参考F分布依赖独立误差、适当正态和等方差等条件；不等方差可考虑Welch ANOVA，不能因三组就默认条件成立。

总体F拒绝只说明至少一组均值不相同，不指明哪两组，更不证明所有组逐对不同。两组时在相容的模型下F=t²；有协变量时可用回归框架统一描述。见NIST一因素ANOVA说明。

三组[1,2,3]、[3,4,5]、[5,6,7]，组均值2、4、6，总均值4。SSB=3×4+0+3×4=24；每组内部平方和2，SSW=6。自由度2与6，F=(24/2)/(6/6)=12。

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from statistics import mean
from scipy.stats import f
G = [[1,2,3],[3,4,5],[5,6,7]]
all_y = [x for group in G for x in group]
grand = mean(all_y)
ssb = sum(len(g)*(mean(g)-grand)**2 for g in G)
ssw = sum(sum((x-mean(g))**2 for x in g) for g in G)
F = (ssb/(len(G)-1))/(ssw/(len(all_y)-len(G)))
print('SSB_SSW_F_P',ssb,ssw,F,round(float(f.sf(F,2,6)),6))
control, treated = [10.,12.], [13.,17.]
interaction = (treated[1]-control[1])-(treated[0]-control[0])
print('difference_of_effects',interaction)
assert (ssb,ssw,F)==(24,6,12) and interaction==2

第一段P约0.008，表示总体均值约束不相容；后半段是另一个2×2条件均值的手算，没有重复方差，所以只算交互效应2，不据此给交互P。

对比$L=\sum_gc_g\mu_g$通常令系数和为0。例如“处理B相对对照A”为(−1,1,0)；“两种处理均值相对对照”为(−1,0.5,0.5)。预先定义对比可对准科学问题；事后尝试所有对比后只报显著者需要相应多重控制。多组两两比较如Tukey或其他校正要与目标和方差假设匹配。

检验系数βj=0不一定等于想要的对比，尤其因子有多水平或存在交互时。需检查设计矩阵列、参考水平与contrast向量。模型公式只是编码，不能替代对科学问题的文字定义。

设模型$y=\beta_0+\beta_A A+\beta_B B+\beta_{AB}AB+\epsilon$，A、B为0/1。βAB=[μ11−μ01]−[μ10−μ00]，表示A效应随B改变多少。上面一条件处理效应3，另一条件效应5，交互为2。一个亚组P<0.05另一个P>0.05不等于交互显著，需要直接检验βAB。

有交互时主效应βA表示B=0时A的效应，不再是所有B条件下统一效应。改变参考水平会改变系数的表面含义；模型预测和恰当对比应保持一致。RNA计数交互的LRT见RNA交互作用与LRT比较。

报告独立n、组均值/区间、模型公式、交互与具体对比、调整家族和诊断；不只给F和星号。对于不平衡数据，I/II/III型平方和可能检验不同约束，不能简单选“更高级”的一个。

自测：总体F未显著，可以直接证明三组等价吗？ 答：不行，需预设等价范围。自测：仅四个条件均值能给可信交互P吗？ 答：缺少误差信息与设计时不能。自测：存在交互时只报主效应够吗？ 答：往往不够，应按条件报告直接对比与不确定性。

线性模型与混合模型 → 实验设计与统计功效。学习顺序与练习入口见方法与算法系统学习指南。

先下载项目并进入含README与examples的根目录，环境准备见方法与算法系统学习指南。用项目环境的Python运行以下命令（macOS/Linux路径示例；Windows用.venv\Scripts\python.exe）：

.venv/bin/python examples/methods_foundations_demo.py --case anova --output examples/output/methods-anova

输出summary.json保存本页计算与检查结果。目录非空时拒绝覆盖，再练习请更换--output目录；页面内短代码只打印结果。标准库case也可用系统Python直接运行。

公式里的矩阵、下标或对数不熟时，可回查读懂方法公式的最小数学基础。