Introdução aos principais conceitos de teoria da probabilidade.

Probabilidades e eventos

• Probabilidade - Usa-se para classificar o quanto algo pode acontecer, antes de acontecer. Também se usa para classificar quanto era possivel que algo tivesse acontecido no passado, sem saber se ocorreu ou não. Normalmente fala-se em "probabilidade de um evento".

• Espaço de amostra, pontos de amotra e eventos - Sendo A o conjunto de coisas que podem acontecer. Diz-se que A é um espaço amostral, ou espaço de todos os resultados possiveis, se satisfizer estas duas propriedades:

1. Os seus elementos são mutuamente exclusivos entre si. Ou seja, não podem ocorrer em simulaneo dois resultados de A. Se um evento aconteceu, os outros não aconteceram.
2. Elementos exaustivos. Pelo menos um elemento irá ocorrer. Um elemento de A é um ponto da amostra. O elemento de A que ocorreu é chamado de ocorrencia. Um evento é um subespaço de A. O A é um evento, visto que é um subconjunto de si próprio. Nem todos os subespaços de A são eventos. O elemento nulo também é um evento. Exemplo: Lançamento de dado

A = {1,2,3,4,5,6}

Evento "sair numero impar" = {1,3,5}

Algumas propriedades

• A probabilidade de A é 1
• Para qualquer evento E, 0 <= P(E) <=1
• A probabilidade do evento "conjunto vazio" é 0
• Se E e F são dois eventos e a probabilidade de E em disjunção com F é igual ao conjunto vazio, então a probabilidade da sua união é igual à soma.
• A soma de um evento com o seu complemento é 1
• No caso de união da probabilidade de dois elementos não disjuntos, E e F, a sua probabilidade é P(E)+P(F) - P(E disjunção F)
• So evento E for um subconjunto do evento F, a sua probabilidade será menor ou igual a probabiliade de F

Probabilidades condicionadas

Eventos com probabilidade nula

Eventos independentes

Lei de Bayes

Variaveis aleatorias e vectores aleatorios

Variaveis aleatorias

Uma variavel aleatoria é uma variavel cujo valor depende do resultado de uma experiência probabilistica. O seu valor à priori é desconhecido, mas torna-se conhecido assim que o evento ocorre. Sendo A um espaço amostral, uma variavél aleatoria X é uma função do espaço de amostra tal que

X: A -> R , em que R é o conjunto dos numeros reais.

É uma função que se aplica a medidas do resultado obtido.

Exemplo, num lançamento de dois dados, a função CarasX2 = numero de caras x 2, é uma variavel aleatoria.

Valor esperado

O valor esperado de uma variável aleatória é um dos conceitos mais importantes na teoria da probabilidade.

O valor esperado de uma variavel aleatória X é a média pesada dos valores que pode assumir, onde cada valor é pesado com a sua probabilidade.

É representado por E[X] e normalmente é referida como a esperança ou média.

Esperança de uma variável aleatoria discreta:

Esperança de uma variável aleatoria continua:

em que fx(X) é a função de densidade de probabilidade de uma variavel aleatoria absolutamente continua X.

Algumas regras:

• Se X é uma variavel aleatoria e a e b são constantes: E[b + aX]= b + aE[X]
• Se X1,X2,..., Xn são variaveis aleatorias: E[X1+X2+...+Xn ] = E[X1]+E[X2]+...+E[Xn]

Variancia

Sendo X uma variavel aleatoria e E[X] a sua esperança.

A Variancia de X é Var(X)=E[(X-E[X])²].

Também é conhecida como o segundo momento central de X.

É uma medida de dispersão de uma variável aleatoria ao longo da sua média.

Sendo a variancia um numero quadrado, esta é sempre positiva.

Quando uma variavel aleatória é constante, a sua variancia é 0.

Quanto maiores forem as possiveis variaçoes de X em relação ao seu valor esperado, maior é a variancia.

Formula alternativa: Var[X]=E[X²] - E[X]²

A raiz quadrada da variancia é o desvio padrão

Algumas propriedades, sendo a e b constantes:

• Var[a+X] = Var[X]
• Var[aX]=a²Var[X]
• Var [a+bX]=b²Var[X]