Métodos de Integração em Meshless

Data: 03 de Maio de 2025

Resumo feito com o DeepSeek

Observação: Neste resumo serão listadas as principais técnicas que aparecem dentro do contexto dos Métodos Sem-Malha, nenhuma delas será aprofundada aqui, para um texto completo sobre cada uma delas consulte o link (se disponível) que redireciona para a página no HackMD que explica como ela funciona de fato.

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1 Quadratura de Gauss Convencional

• Como funciona: Usa pontos e pesos pré-definidos para aproximar integrais em domínios locais (círculos, esferas).
• Um desafio no MLPG: Como os subdomínios $\Omega_s$ podem ser irregulares (devido à distribuição aleatória de nós), a quadratura padrão pode perder precisão.

$$\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$$

2 Quadratura Adaptativa

• Ideia principal: Refina a malha de integração localmente onde a função varia rapidamente.
• Vantagem: Melhora a precisão em regiões com gradientes altos (ex.: perto de trincas).
• Custo: Aumento computacional devido ao número de pontos de integração.

3 Método de Monte Carlo

• Como funciona: Amostra pontos aleatoriamente dentro de $\Omega_s$ e calcula a média dos valores do integrando.
• Vantagens: Simples de implementar em domínios complexos. Não exige geometria regular.
• Desvantagens: Convergência lenta

$$\int_{a}^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$$

4 Integração por Nós (Nodal Integration)

Veja mais em: Integração Nodal

• Ideia: Usa os próprios nós da discretização como pontos de integração, com pesos baseados na densidade nodal.

• Exemplos:

  • Direct Nodal Integration (DNI): Avalia o integrando nos nós e multiplica pelo volume associado a cada nó.
  • Stabilized Nodal Integration (SNI): Adiciona correções para evitar instabilidades (ex.: "hourglass modes").

• Vantagens:

  • Econômico computacionalmente.
  • Elimina a necessidade de subdomínios de integração explícitos.

• Desvantagens:

  • Pode introduzir instabilidades se não for estabilizado.

$$\int_{\Omega}f(x)d\Omega \approx \sum_{i=1}^n f(x_i)w(x_i)$$

5 Integração de Voronoi

A integração de Voronoi é uma variação da integração nodal, seguindo os mesmos princípios.

• Como funciona:
  • Usa as células de Voronoi (associadas a cada nó) como domínios de integração.
  • O peso de integração é a área ou volume da célula de Voronoi.
• Vantagem: Natural para distribuições irregulares de nós.
• Desafio: Cálculo das células de Voronoi em 3D pode ser custoso.

$$\int_{\Omega} f(x)d\Omega \approx \sum_{i=1}^N f(x_i) \text{vol}(Vor(x_i))$$

6 Métodos de Background Grid

• Ideia: Superpõe uma malha auxiliar (não conectada aos nós) para integração.
• Vantagens:
  • Reutiliza quadratura de Gauss em elementos regulares.
  • Precisão controlável.
• Desvantagens:
  • Perde parte da filosofia meshless.
  • Pode ser ineficiente em domínios muito irregulares.

7 Integração por Difusão (Diffuse Domain Method)

• Princípio: Estende o integrando para um domínio fictício maior (ex.: retângulo) e usa quadratura tradicional.
• Aplicação: Útil para domínios com fronteiras complexas.
• Cuidado: Requer tratamento cuidadoso das fronteiras.

8 Técnicas Híbridas

• Exemplo: Combina quadratura de Gauss em subdomínios regulares com Monte Carlo em regiões irregulares.
• Objetivo: Balancear precisão e custo.

Tabela Comparativa

Método	Precisão	Custo	Adequação para Meshless
Quadratura de Gauss	Alta	Moderado	Requer subdomínios bem definidos
Monte Carlo	Baixa-Média	Baixo	Ideal para domínios complexos
Nodal Integration	Variável	Muito baixo	Rápido, mas pode instabilizar
Voronoi	Média-Alta	Moderado	Natural para nós irregulares
Background Grid	Alta	Alto	Contradiz filosofia meshless

Qual Escolher?

• Precisão: Gauss ou Voronoi.
• Custo: Nodal Integration (com estabilização).
• Domínios complexos: Monte Carlo ou Diffuse Domain.
• Compromisso: Técnicas híbridas.