Método da Partição da Unidade (PUM)

Data: 04 de Maio de 2025 Resumo feito com auxílio do DeepSeek

O Método da Partição da Unidade (PUM – Partition of Unity Method), desenvolvido por Ivo Babuška e colaboradores nos anos 1990 é a base teórica de muitos esquemas meshless, isto é, além de ser um método sozinho também serve como estratégia para melhorar outros métodos, pois ele esta intimamente ligado ao conceito de Integração Nodal via Partição da Unidade, veja o texto no HackMD sobre Integração Nodal.

O que é o Método da Partição da Unidade (PUM)?

Ideia central: Aproximar a solução de uma EDP usando funções de base locais multiplicadas por uma partição da unidade (PU), que são funções com suporte compacto e soma igual a 1 em todo o domínio. Sua formulação geral geral é dada por:

$$u(x) \approx \sum_{i=1}^n \phi_i(x) \left(\sum_{j=1}^m c_{ij} \psi_j(x) \right)$$

onde:​

• $\phi_i$ são as funções da PU (ex.: funções hat),
• $\psi_i$ são funções de base locais (ex.: polinômios, funções harmônicas).

Relação com métodos meshless: O PUM é a fundamentação teórica por trás de métodos como:

• GFEM (Generalized Finite Element Method)
• XFEM (eXtended Finite Element Method)
• MLPG com aproximações Moving Least Square (MLS) /Radial Point Interpolation Method (RPIM) (quando usam PU implícita).

Conexão PU e Integração Nodal

Os pesos de integração $w_i$ são calculados usando as próprias funções da PU (ou funções de forma sem-malha derivadas dela):

$$w_i = \int_{\Omega} \phi_i(x) d \Omega $$

Como $\sum_i \phi_i(x) = 1$ (propriedade da PU), a integral do domínio é naturalmente distribuída entre os nós. No MLPG com MLS (Moving Least Squares), as funções de forma $\phi_i(x)$ não são uma PU estrita, mas herdam ideias similares para definir pesos de integração.

Diferença entre PUM e Integração Nodal

Característica	PUM (Babuška)	Integração Nodal via PU
Objetivo principal	Aproximação da solução	Cálculo de integrais
Funções usadas	PU + bases locais ($\psi_j$​)	PU ($\phi_i$​) como pesos
Aplicação típica	GFEM, XFEM	MLPG, EFG

Vantagens do PUM para Integração Nodal

✔ Consistência matemática: Garante precisão se $\phi_i$ for uma PU válida.

✔ Adaptabilidade: Permite usar funções de base locais para enriquecer a solução (ex.: capturar singularidades).

✔ Estabilidade: Reduz oscilações numéricas em comparação com métodos mais simples (como Voronoi).

Desafios

✖ Custo computacional: Calcular $\int_{\Omega} \phi_i(x) d \Omega$ pode ser caro para funções complexas.

✖ Implementação: Exige cuidado para garantir que $\sum_i \phi_i(x) = 1$ seja mantido numericamente.