Charge et décharge d'un condensateur dans un circuit RC

Charge d'un condensateur

Prenons le circuit suivant :

Imaginons que nous subissons sur ce circuit de tension un échelon de valeur E en entrée au niveau de $U_e$.

D'après la loi des mailles on a :

$$E= U_s(t) + Ri(t)$$

avec $i(t) = C \frac{U_s(t)}{dt}$ on obtient $$E= U_s(t) + RC \frac{dU_s(t)}{dt}$$

Si on pose $\boxed{\tau = RC}$ on peut donc réécrire l'équation :

$$\frac{dU_s(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} U_s(t) = \frac{E}{\tau}$$

On reconnait donc ici une équation différentielle du premier ordre avec second membre. Dont la solution est sous la forme $U_s(t) = A e^{-t/\tau} + E$ (Solution homogène et solution particulière).

Pour la solution particulière : à $t=0$ , $U_s(t) = 0$ on en conclus que $0 = A + E$ donc $A=-E$

$$\boxed{U_s(t) = E(1 - e^{\frac{-t}{\tau}})}$$

Décharge d'un condensateur