Circuit RC

Filtre passe bas du 1er ordre.

Cas aux limites et identification du filtre.

Rappel : l'impédance du condensateur vaut $$\boxed{Z_C = \frac{1}{jC\omega}}$$

Pour identifier rapidement de quoi il s'agit prenons le cas aux limites : Si $\omega \rightarrow 0$ alors $Zc \rightarrow \infty$ (Refaire le schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et $U_S = U_E$

Si $\omega \rightarrow \infty$ alors $Zc \rightarrow 0$ (Refaire le schéma en remplaçant la branche du condensteur par un fil) et $U_S \rightarrow 0$

Avec le cas aux limites on observe déjà que les hautes fréquences sont atténués d'où l'appellation du filtre passe-bas.

Fonction de transfert.

La fonction de transfert est définie par :

$$\boxed{\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}}}$$

$$\frac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}} = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} = \frac{1}{1+jRC\omega}$$

En posant $$\omega_0 = \frac{1}{RC}$$

On obtient $$\boxed{\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1+j\frac{\omega}{\omega_0}}}$$

Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB

Représentation de la courbe de gain

Le module de la fonction de transfert est appelé gain.

$$|\underline{H}(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_0})²}}$$

Par définition On définie le gain en décibel ainsi :

$$\boxed{G_{dB} = 20log|\underline{H}(j\omega)|}$$

$$= -10log(1+(\frac{\omega}{\omega_0})²)$$

On représente le gain en décibel non pas en fonction de $\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (ou $\omega$ ou $f$) mais en fonction de $\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (la plage de fréquence pouvant s'étendre de quelques $Hz$ à $10^6,Hz$ et plus)

Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq 0$

Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq -20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ droite de pente $-20,dB$ par décade ce qui signifie que si $\omega$ est multiplié par 10, $\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ augmente de 1 et $G_{dB}$ diminue de $20dB$

Courbe de phase

L'argument de la fonction de transfert est appelé phase

$$=0-\arg(1+j\dfrac{\omega}{\omega_0})=-\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$$

expérimentalement $\varphi(\omega)=\varphi_s-\varphi_e$

On représente la phase non pas en fonction de $\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (ou $\omega$ ou $f$) mais en fonction de $\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$ (la plage de fréquence pouvant s'étendre de quelques $Hz$ à $10^6,Hz$ et plus)

Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $\varphi\simeq 0$

Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $\varphi\simeq -\dfrac{\pi}{2}$

Si $\omega=\omega_0$ alors $\varphi=-\dfrac{\pi}{4}$

Pour $\omega=0,1\omega_0$, $\varphi=-6°$ Pour $\omega=10\omega_0$, $\varphi=84°$

L'essentiel de la rotation de phase se fait donc entre $0,1\omega_0$ et $10\omega_0$ c'est à dire sur deux décades.

Filtre passe haut du 1er ordre.

L'impédance du condensateur vaut $$\underline{Z}_C=\dfrac{1}{jC\omega}$$ Si $\omega\to 0$ alors $\underline{Z}_C\to\infty$ (refaire le schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et $\underline{U}_s\to 0$

Si $\omega\to \infty$ alors $\underline{Z}_C\to 0$ (refaire le schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un fil) et $\underline{U}_s\to\underline{U}_e$.

On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de haute fréquence et atténue ceux de basse fréquence d'où la dénomination de filtre passe haut.

La fonction de transfert est définie par $$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}}$$

$\dfrac{\underline{U}_s}{\underline{U}_e}=\dfrac{R}{R+\dfrac{1}{jC\omega}}=\dfrac{jRC\omega}{1+jRC\omega}$

$$\boxed{\underline{H}(j\omega)=\dfrac{j\dfrac{\omega}{\omega_0}}{1+j\dfrac{\omega}{\omega_0}}}$$ en posant $\omega_0=\dfrac{1}{RC}$

Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB

$$H(\omega)=|\underline{H}(j\omega)|=\dfrac{\dfrac{\omega}{\omega_0}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}$$ expérimentalement $H(\omega)=\dfrac{{U_s}_m}{{U_e}_m}=\dfrac{U_s}{U_e}$

$$\boxed{G_{dB}=20\log |\underline{H}(j\omega)|}$$ $$=20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}-10\log\left(1+\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)$$

Si $\omega$ petit devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq 20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}$

Si $\omega$ grand devant $\omega_0$ alors $G_{dB}\simeq 20\log\dfrac{\omega}{\omega_0}-10\log\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2=0$

La bande passante de ce filtre, c'est à dire l'ensemble des pulsations qu'il laisse passer, est donc $[\omega_0,\infty[$.

Représentation de la courbe de phase

$$\boxed{\varphi(\omega)=\arg\underline{H}(j\omega)}$$ $$=\arg(j\dfrac{\omega}{\omega_0})-\arg(1+j\dfrac{\omega}{\omega_0})=\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{\omega}{\omega_0}$$

expérimentalement $\varphi(\omega)=\varphi_s-\varphi_e$

La courbe se déduit de celle du passe-bas par une translation de $\dfrac{\pi}{2}$.%