Isometrías

Una biyección $𝑓∶E⟶E'$ entre espacios afines euclidianos se llama isometría si verifica:

$d'(𝑓(a),𝑓(b) = d(a,b)$

• La composición de dos isometrías es isométrica
• Si 𝑓 es isométrica, su inversa 𝑓̚ también lo es
• Si 𝑓⃗ es isométrica ⟺ 𝑓 también lo es

Toda isometría 𝑓: $E⟶E$ entre espacios afines euclidianos es isomorfismo afín

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Sea $E$ un espacio afín euclidiano de dimensión 3. Encuentre los valores del parámetro $a∈ℝ$ que hacen que la aplicación $𝑓:E ⟶ E$ dada, respecto de un sistema de referencia ortonormal $𝓡$ , por

$𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)$ $=$ $(𝑧+1, a𝑦+1, 𝑥)$

sea un movimiento. Para cada uno de tales valores, clasifique dicho movimiento y determine la forma canónica de $Jordan$ de $𝑓$.

$Solución:$

Observe que para todo $(𝑥,𝑦,𝑧)$ $∈E$ se tiene:

$𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)$ $=$ $(1,1,0)$ $+$ $(𝑧, a𝑦, 𝑥)$

Por tanto 𝑓 es una aplicación afín de $E$ en $E$ y la aplicación lineal asociada a 𝑓 es 𝑓⃗ : $E⃗ ⟶ E⃗ definida por

$𝑓⃗(𝑥,𝑦,𝑧)$ $=$ $(𝑧, a𝑦, 𝑥)$

Como

$𝑓⃗(1,0,0)$ $=$ $(0, 0, 1)$
$𝑓⃗(0,1,0)$ $=$ $(0, a, 0)$
$𝑓⃗(0,0,1)$ $=$ $(1, 0, 0)$

la matriz asociada a 𝑓⃗ es: $M⃗$ =

0	0	1
0	$a$	0
1	0	0

Sabemos que una aplicación afin $𝑓: E⟶E$ es un movimiento si, y solo si $𝑓⃗: E⃗⟶E⃗$ es una transformación lineal euclidiana si, y solo si, $M⃗ᵀ·M⃗ = I$

0	0	1
0	$a$	0
1	0	0

·

0	0	1
0	$a$	0
1	0	0

=

1	0	0
0	1	0
0	0	1

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1	0	0
0	$a²$	0
0	0	1

=

1	0	0
0	1	0
0	0	1

De donde deducimos que $a²=1$ y por tanto $a=1$ y $a=-1$ son los dos valores de $a$ para los que 𝑓 es un movimiento de $E$

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