Normalizar un vector es reducirlo a otro vector (múltiplo suyo) de norma 1. Ello se consigue dividiendo el vector por su norma.

v̂ =
      v⃗
    _____
    | v |

Conjunto Ortonormal

Se llama conjunto ortonormal a un conjunto ortogonal cuyos vectores tienen todos norma 1.

Se puede obtener normalizando un conjunto ortogonal.

Ejemplo: La base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) de ℝ³ es un conjunto ortonormal.

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada es ortiginal si sus columnas son vectores ortonormales

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Base

Un conjunto ortonormal que se puede combinar linealmente para generar todo el espacio.

vector ortogonal a un subespacio

Se dice que un vector v es ortogonal a un subespacio S (y se denota v ⊥ S) si v es ortogonal a todos los vectores de S. (Basta con que v sea ortogonal los vectores de una base de S).

Subespacios ortogonales.

Diremos que un subespacio S es ortogonal a otro subespacio T (se denota S ⊥ T) si todo vector de S es ortogonal a todo vector de T, es decir:

$u · v = 0$ para todo $u ∈S, v ∈T$

Basta con que los vectores de una base de S sean ortogonales a los vectores de una base de T.

Propiedad : Si dos subespacios son ortogonales entonces su intersección ha de ser { 0⃗ }. En efecto, si tuviéramos un v ≠ 0⃗ en la intersección, tendríamos $v · v ≠ 0 con v ∈S, v ∈T.

Ello impide que los subespacios sean ortogonales.

En ℝ³ , el eje X es ortogonal al plano YZ. Sin embargo, el plano XY no es ortogonal al plano YZ.

Por otra parte, recordemos que en un espacio vectorial, dado un subespacio S podemos definir su suplementario (o complementario) como T tal que $S ⊕ T$ sea el espacio total.

Todo subespacio S (salvo el { 0⃗ } y el total) tienen infinitos suplementarios, pero sólo uno es ortogonal a S.

Definición: Complemento ortogonal.

Dado un subespacio S, su complemento ortogonal (o simplemente su ortogonal) es el único subespacio (denotado por S ⊥ ) que cumple:

• $dim S + dim S⊥ = n$ (donde n es la dimensión del espacio total),
• S⊥ es ortogonal a S