Conjunto Lineal de tuplas de tamaño 𝚗

$ℝ⨯ℝ⨯ℝ⨯ℝ...⨯ℝ$ : 𝚗 veces

$𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, .,. 𝑥ₙ)$
$𝑥+𝑦 = ( 𝑥₁+𝑦₁, 𝑥₂+𝑦₂, .,, 𝑥ₙ+𝑦ₙ)$
$𝜆·𝑥 = (𝜆·𝑥₁, 𝜆·𝑥₂, .,. 𝜆·𝑥ₙ)$

Es un espacio vectorial con Producto Escalar como norma del espacio.

$Producto Escalar(𝑎⃗,𝑏⃗)$ $= 𝑎⃗·𝑏⃗ = ∑𝑎ₙ·𝑏ₙ$

Propiedades del Producto Escalar

1. Conmutativa: $u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗$
2. Distributiva: $u⃗·(v⃗+w⃗) = u⃗·v⃗ + u⃗·w⃗$
3. Reubicación escalar: $α(u⃗·v⃗) = (αu⃗)·v⃗ = u⃗·(αv⃗)$
4. Definida positiva $v⃗·v⃗ ≥ 0$
   • $v⃗·v⃗ = 0$ $⟹ v⃗= 0⃗$
5. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
   • |u⃗⃗·v⃗|≤|u⃗|·|v⃗|

Si cumple estas propiedades un operador es un tipo de Producto Escalar, y se trata de un Espacio Euclideo.

Notación alternativa: <u⃗,v⃗>

Si $u⃗·v⃗=0$ estos vectores son ortogonales. Se denota $u⃗⊥v⃗$ , $u⃗⦜v⃗$

Si $u⃗⊥v⃗$ ⟹ $αu⃗⊥v⃗$

Un conjunto de vectores forma un conjunto ortogonal si cada uno de ellos es ortogonal a todos los demás, y ninguno es $0⃗$. Se le denomina un Conjunto Linealmente Independiente

La norma o modulo de un vector es

$|v⃗| = √(v⃗·v⃗)$

y corresponde con la distancia en espacios físicos.

$distancia(𝑎⃗,𝑏⃗) = ||𝑎⃗-𝑏⃗|| = √ ∑(𝑎ᵢ-𝑏ᵢ)²$

Propiedades:

• $|v⃗|=0 ⟹ v⃗=0⃗$
• $|αv⃗| = α|v⃗|$
• Desigualdad Triangular
  • |u⃗+v⃗|≤|u⃗|+|v⃗|

En estos espacios se défine al ángulo como:

$𝜃 = arccos(𝑎⃗·𝑏⃗ : |𝑎⃗||𝑏⃗|)$

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Sea $𝔼$ un espacio euclidiano de dimensión 4 y $ℜ$ un sistema de referencia euclidiano de $𝔼$.

Consideremos dos planos $𝑴$ y $𝑵$ en $𝔼$ cuyas ecuaciones respecto al sistema de referencia $ℜ$ son:

$𝑴$ :

    𝑥₂           = 0  ⎱
         𝑥₃ - 𝑥₄ = 0  ⎰

$𝑵$ :

𝑥₁ - 𝑥₂           = 0   ⎱
          𝑥₃ - 𝑥₄ = -1  ⎰

1. Obtener una base para el subespacio vectorial de $E⃗ : (M⃗+N⃗)⊥$

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Sean $a$, $b$ dos puntos distintos del espacio afín euclidiano $E$, el segmento definido por ambos es por definición:

$[a,b] = {(1-λ)a+λb : 0≤λ≤1}$

Sea $x$ un punto de $E$. Probar que si $d(a,b) = d(a,x)+ d(x,b)$ entonces $x∈[a,b]$