⭐️ Number Theory

🌟 Prime Numbers, Divisibility, Modular Arithmetic

• 🌟 “Find the remainder”, prime-factoring hunts.

✨ Diophantine Equations

• ✨ “Find integer solutions” to tricky equations.

⛅️ Cryptography

• ⛅️ RSA-based puzzles, code-breaking challenges.

Teoría de Números

División Euclidiana

Conceptos Básicos:

• Dividendo y Divisor: Números involucrados en la operación de división.
• Cociente y Residuo: Resultados de la división, donde el cociente es el número de veces que el divisor cabe en el dividendo y el residuo es lo que sobra.

Fórmula:

La división Euclidiana se expresa como $a = bq + r$ donde $a$ es el dividendo, $b$ el divisor, $q$ el cociente, y $r$ el residuo, con $0 \leq r < |b|$.

Importancia:

Esta forma de división es crucial en matemáticas, particularmente en teoría de números, y sirve como base para algoritmos como el de Euclides.

Algoritmo de Euclides

Propósito:

Se utiliza para encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros.

Proceso:

1. 1️⃣ Paso Inicial: Se divide el número mayor entre el menor.
2. 🔁 Iteración: Se reemplaza el número mayor por el menor y el menor por el residuo de la división anterior.
3. ⏹️ Terminación: El proceso continúa hasta que el residuo es 0. El último divisor no nulo es el MCD.

Ejemplo:

• Para encontrar el MCD de $56$ y $98$, se sigue el proceso de división Euclidiana hasta que el residuo sea $0$. El $MCD$ resultante es $14$.

Aplicación en Python:

Se puede implementar recursivamente, con una función que se llama a sí misma usando los residuos de la división hasta que uno de los números es 0.

Conclusión

La división Euclidiana y el Algoritmo de Euclides son fundamentales en matemáticas, especialmente en teoría de números y criptografía. La comprensión de estos conceptos es esencial para explorar áreas más avanzadas de las matemáticas.

Números Primos

Definición:

Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.

Ejemplos:

Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Propiedades:

• El número 2 es el único primo par.
• Todo número primo mayor que 2 es impar.
• Los primos son los "bloques de construcción" de los números naturales.

Teorema Fundamental de la Aritmética

Declaración del Teorema:

• Cada número entero mayor que 1 se puede escribir de manera única como un producto de números primos, dado el orden de los factores.

Importancia:

• Este teorema asegura que los números primos son los "átomos" de la aritmética, en el sentido de que cada número compuesto se descompone en un conjunto único de primos.

Ejemplo:

Consideremos el número 60.

La descomposición en primos de 60 es $60=2×2×3×560=2×2×3×5$ o $60=2^2×3×5$.

Principio de Inducción Matemática

El Principio de Inducción Matemática es una técnica fundamental en matemáticas, utilizada para probar afirmaciones sobre los números naturales. Este método se basa en dos pasos principales: el paso base y el paso inductivo.

Conceptos Clave

• Paso Base: Demuestra que la afirmación es verdadera para el primer número en el conjunto (usualmente 1 o 0).
• Paso Inductivo: Consiste en dos subpasos:
  1. Suponer que la afirmación es verdadera para un número ( k ).
  2. Demostrar que si la afirmación es verdadera para ( k ), entonces también es verdadera para ( k+1 ).

Importancia

La inducción matemática es crucial para demostrar propiedades o afirmaciones que son verdaderas para un conjunto infinito de números naturales, especialmente cuando es imposible probar cada caso individualmente.

Ejemplo: Suma de Números Naturales

Un ejemplo clásico es demostrar que la suma de los primeros ( n ) números naturales es ( \frac{n(n+1)}{2} ).

Paso Base

\text{Para } n = 1, \text{ la suma es } \frac{1(1+1)}{2} = 1, \text{ lo cual es verdadero.}
\text{Suponer que es cierto para } n = k: 1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}.
\text{Demostrar para } k+1: 1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}.

Ecuaciones Diofánticas

Las Ecuaciones Diofánticas son un tipo interesante de ecuaciones polinómicas donde se buscan soluciones enteras. Son fundamentales en la teoría de números y tienen aplicaciones en áreas como la criptografía.

Definición

Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica, generalmente en dos o más variables, que busca soluciones enteras.

Ejemplo Clásico

ax + by = c

Donde $a$, $b$, y $c$ son enteros conocidos, y $x$ e $y$ son las incógnitas que deben ser enteros.

Ejemplo

3x + 2y = 1

## Solución

No todas las ecuaciones diofánticas tienen solución, y algunas pueden tener muchas soluciones.

Un método común para resolver ecuaciones diofánticas lineales es utilizar el algoritmo de Euclides extendido.

Importancia

Las ecuaciones diofánticas son importantes en matemáticas por su conexión con temas como la teoría de números, la criptografía y el álgebra.

Ejercicio

Intenta resolver la siguiente ecuación diofántica lineal:

7x + 5y = 1

Método General

Verificar si Hay Solución:

Primero, verifica si hay soluciones. En este caso, ya que el MCD de 7 y 5 es 1, y 1 divide al término constante de la ecuación (también 1), hay soluciones.

Utilizar el Algoritmo de Euclides Extendido:

Este algoritmo encuentra valores de $x$ e $y$ que satisfacen la ecuación $7x+5y=MCD(7,5)$.

En este caso, como el $MCD$ es $1$, estamos buscando valores que satisfagan $7x+5y=1$.

Encontrar una Solución Particular:

El algoritmo te dará una solución particular $(x0,y0).

Encontrar Todas las Soluciones:

Todas las soluciones se pueden expresar en términos de esta solución particular y múltiplos del cociente de 7 y 5.

def euclides_extendido(a, b):
    if a == 0:
        return b, 0, 1
    else:
        mcd, x, y = euclides_extendido(b % a, a)
        return mcd, y - (b // a) * x, x

# Ejemplo de uso
mcd, x, y = euclides_extendido(7, 5)
print(f"MCD: {mcd}, x: {x}, y: {y}")  
   # Valores de x e y que satisfacen 7x + 5y = MCD(7, 5)

Number Th.

Properties of Numbers.

Each types satisfies a condition.

Natural Numbers

ℕ: {1,2,3,4,5…+1…}

building block of Arithmetics

Conmutativity

a + b = b + a
ab = ba

Associativity

a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)
abc = a(bc) = (ab)c

Distribution

a(b+c) = ab + ac

Well Ordering of ℕ

Every ninety set of nonnegative integers has a least element.

• The set {2, 5, 7, 11} has a least element 2
• the infinite set {3n : n ∈ ℕ } = {3, 6, 9 …}

Divisibility

Splitting up quantity of objects into equal sized groups

8 / 3 = 2   ∹ 2

⚪️⚪️⚪️ 
⚪️⚪️⚪️    
⚪️⚪️

Resto = Leftover = excess

n / d = m ∹ r

• Let n,m ∈ ℕ.
• d divides n into m
• ⇒ d is a divisor of n

if ∃m ⟶ n= dm

d divides n

d ∣ n

If not:

d ∤ n

Rules of divisivility

d₁ ∣ n ∧ d₂ ∣ n
⇒  d₁ + d₂ ∣ n


d ∣ n
⇒ d ∣ nm


d ∣ n ∧ n ∣ m 
⇒ d ∣ m


n ∣ m  ∧  m ∣ n
⇒ n = ± m

Proofs

1)
d₁ ∣ n ∧ d₂ ∣ n ⇒  d₁ + d₂ ∣ n

a | n ⟹
a = pn

b | n ⟹
b = qn

a + b = pn + qn = n(p+q)
 m = p+q
 d = a + b



2)
d ∣ n
⇒ d ∣ nm

d ∣ n ⟺  n = dm
n·p = (dm)·p = d(mp)
⟺ 
d ∣ np






d ∣ n ∧ n ∣ m 
⇒ d ∣ m

n = dp
m = nq
m = (dp)q
m = d(pq)
∴ d ∣ m



n ∣ m  ∧  m ∣ n
⇒ n = ± m

m = an
n = bm
m = a(bm)
m = bam
1 = ba





d ∣ n
d ∤ m
d ∤ n+m









d, n ∈ ℕ
⟹ ∃! q, r : n = qd + r  |  0≤ r < d


if d > n
  q = 0
  r = n
 
if d ≤ n
	{n, n-d, n-2d …}
		The well Ordering Property:
		minimal in ℕ
		n - qd =: r
 
q : quotient
r: reminder

r = 0 ⟺ d ∣ n

Integers

ℤ: {…-1…-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5… +1…} Ger. Zahlen: numbers

Rational

ℚ: 𝕢=𝕫/𝕟

Irrationals

Not ℚ

Real numbers

ℝ:

∑𝕫ₙ•𝕓ⁿ
    𝕓∈ℕ
    𝕫∈:{-𝕓.,.𝕓}⊂ ℤ
    n∈ℤ

∀𝕣₁,𝕣₂∈ℝ∃𝕣₃∶𝕣₁<𝕣₃<𝕣₂ & 𝕣₃∈ℝ
⇒ℝecta ℝeal

Completos/complejos

c+s𝔦
   c ∈ ℝ
   s ∈ ℝ
   𝔦=√-1

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

Evens
e:=2n

Odds
o:=2n+1

Buen ordenamiento

Todo subset de ℕ tiene un elemento menor.

∃𝘢∊ 𝕊⊂ℕ⁰ : ∀𝗇∊ 𝕊→𝘢≤𝗇

Diophante equations

Ecuaciones con

𝚊,𝚋,𝚌.,.𝚡,𝚢,𝚣 ∈ ℤ

Diophante Aproximation

𝚊,𝚋,𝚌.,.𝚡,𝚢,𝚣 ∈ ℚ

Primes

Problemas Aditivos

Algorítmica (criptográfica)

La conjetura Binaria de Goldbach

∀𝕟∋ℕ∶𝕟>𝟸 
   ∃𝕡,𝕢∋𝓟𝓇𝒾𝓂ℯ𝓈:
     𝕟=𝕡+𝕢

Riemann Hypothesis

Expanded Zeta function to complex numbers. The real part of any nontrivial zeros of the zeta function is 1/2

Suma the los primeros n naturales

1+2+3.+.n = n(n+1) / 2

Mathematical induction

For integers
P(1)
P(k)⟶P(k+1)

Representation

Place value system.

Base 10
 125 = 1∙100 + 2∙10 + 5∙1

   Basis representation theorem
      Each representation is unique 
N =  ∑aₙ∙bⁿ 
   |N|b 
N-1 = ∑aₙ∙bⁿ  -1
      |N-1|b ≤  |N|b 
      |1|b = 1