🔵 Multiplicidad Algebraica

👉 Definición:

• La multiplicidad algebraica de un autovalor $\lambda$ es el número de veces que $\lambda$ aparece como raíz (contando repeticiones) en el polinomio característico de la matriz.

Formalmente:

• Si $p(\lambda)$ es el polinomio característico, entonces la multiplicidad algebraica es el exponente con el que aparece el factor $(\lambda - \lambda_0)$ en la factorización de $p(\lambda)$.

Si:

p(\lambda) = (\lambda-2)^3(\lambda+1)

Entonces:

• El autovalor $\lambda = 2$ tiene multiplicidad algebraica 3,
• $\lambda = -1$ tiene multiplicidad algebraica 1.

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🔵 Multiplicidad Geométrica

👉 Definición:

La multiplicidad geométrica de un autovalor $\lambda$ es la dimensión del espacio nulo de la matriz $(A - \lambda I)$.

Más palabras:

• Es cuántos autovectores independientes (líneas de dirección diferentes) existen para ese autovalor.
• O sea, de qué tamaño es el espacio de soluciones de $(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0$.

Ejemplo sencillo:

Si al resolver:

$(A-2I)\mathbf{v}=0$

obtienes un espacio de dimensión 2 (o sea, dos autovectores independientes), entonces la multiplicidad geométrica es 2.

🎯 Entonces, ¿por qué se llaman ambas “multiplicidad”?

🔵 Se llama multiplicidad porque en ambos casos contamos:

• La cantidad de veces que un autovalor se repite dentro de la estructura de la matriz.

Sólo que:

¿Qué se cuenta?

• Algebraica

  • Se cuenta en el polinomio: como raíz repetida.

• Geométrica

  • Se cuenta en el espacio: como vectores linealmente independientes.

Ambas son maneras de medir “cuánto pesa” o “qué tanto influencia” un autovalor en la estructura de A.

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📦 Resumen en un cuadro sencillo:

Concepto	Se cuenta	Cómo se ve
Multiplicidad Algebraica	Repeticiones de $\lambda como raíz$	En el polinomio característico
Multiplicidad Geométrica	Dimensión de soluciones de $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$	En el número de autovectores independientes

Imagina que la matriz A estira y deforma el espacio.

• Si tienes multiplicidad algebraica 3, sabes que “internamente” hay 3 copias de una misma acción.
• Pero si solo hay un eje de autovectores, la geometría del espacio te da multiplicidad geométrica 1.