Operaciones con Matrices

Transformaciones en el método de Gauss, Operaciones elementales de filas

I. Intercambio de filas

$𝑓_𝘪 ⟷ 𝑓_𝘫$

II. Suma de filas

$𝑓_𝘪 ⟷ 𝑓_𝘪 + 𝑓_𝘫$

III. Escalar fila

$𝑓_𝘪 ⟷ · 𝑓_𝘫$

Matriz Elemental

Si una secuencia de Operaciones elementales se aplica a una Matriz Identidad se obtiene la Matriz Elemental de esas Operaciones.

$I _n⟶ E$

Equivalencia

Dos matrices, $A$ y $B$ son equivalentes si existe una matriz $E$ tal que

$A≍B$ ⟹ $A·E = B$

• Reflexiva

$A≍A$

• Simétrica

$A≍B$ ⟹ $B≍A$

• Transitiva

$A≍B ⋀ B≍C ⟹ A≍C$

Y entonces B es una combinación lineal de A

$A_𝚗 ≍ I_𝚗$

Rango

Máximo número de filas independientes de una matriz.

El $rango$ de una matriz escalonada es igual al número de filas no-nulas.

Si $A≍B$ ⟹ $rango(A) = rango(B)$

También, si son del mismo tamaño:

$rango(A) = rango(B)$ ⟹ $A≍B$

$A≍B$ ⟺ $Aᵀ≍Bᵀ$

SI A es cuadrada:

$A≍Aᵀ$

$rango(A) = rango(Aᵀ)$

Si A es de tamaño $m×n$ entonces $rango(A) ≤ min(m,n)$

Inversa

Una matriz es invertible (o regular) si existe una A⁻¹ tal que

$A·A⁻¹ = I_n = A⁻¹·A$

Una matriz sin inversa se denomina singular.

Una Matriz regular tiene solo una matriz inversa. A⁻¹ es única.

$C = C·I_n = C(AD) = (CA)D = I_n·D =D$

• $A'regular ⟺ A⁻¹'regular$
  • Además: $(A⁻¹)ᵀ=(Aᵀ)⁻¹$
• A'regular y B'regular ⟹ (AB)'regular y $(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹$
• Si AB = I o BA=I ⟹ B=A⁻¹

Matrices congruentes

A y B son congruentes si existe una matriz P del mismo orden tal que:

$B=PᵀAP$

Dos Matrices Congruentes tienen el mismo rango.