A. Matrix - JulTob/Mathematics GitHub Wiki

Matrices

A matrix is a rectangular array of elements arranged in horizontal rows and vertical columns, and usually enclosed in brackets.

Matrices are designated by boldface uppercase letters.

A general matrix 𝑨 having r rows and c columns may be written

\color{Aqua}
𝑨=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1c} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2c} \\
... & ... & ⋱ & ︙ \\
a_{r1} & a_{r2} & ... & a_{rc} 
\end{bmatrix}

A matrix having $r$ rows and $c$ columns has order (or size) " $r$ by $c$." usually written $r×c$.

We can refer to a matrix at any general element $a_{ij}$ as $[a_{ij}]$

Square Matrix

A Matrix is a square Matrix if it has the same number of rows and columns.

$r×c$ = $s×s$

Is usually denoted by a single subscript for size

$𝑨_s$

Transpose

The transpose 𝑨ᵀ of a Matrix 𝑨 is obtained by switching the element in (row $i$, column $j$) for the element in (row $j$, column $i$).

\color{#8ab4ff}
𝑨ᵀ=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & ... & a_{r1} \\
a_{12} & a_{22} & ... & a_{r2} \\
... & ... & ⋱ & ︙ \\
a_{1c} & a_{2c} & ... & a_{cr} 
\end{bmatrix}

$[a_{ij}]ᵀ = [a_{ji}]$

\color{#00cdff}
𝑩 =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 
\end{bmatrix}
　　　
𝑩ᵀ =
\begin{bmatrix}
1 & 5 \\
2 & 6 \\
3 & 7 \\
4 & 8 
\end{bmatrix}

SPECIAL MATRICES

The Zero Matrix

for all r,c $[a_{rc}] = 0$

\color{#00e0ff}
𝐙_{₂⨯₂} = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 
\end{bmatrix}

Symmetric Matrices

for all r, c $[a_{rc}] = [a_{cr}]$

\color{#00f8ec}
S_{₂⨯₂} = 
\begin{bmatrix}
1                & {\color{yellow}2}  & {\color{gold}3} \\ 
{\color{yellow}2} & 4                 & {\color{orange}5} \\
{\color{gold}3}  & {\color{orange}5} & 6 
\end{bmatrix}

Diagonal Matrix

Is a square matrix in wich all elements that are not part of its diagonal are equal to zero.

For $c≠r ⟹ a_{cr}=0$

Example:

\color{#7affcc}
\begin{bmatrix}
1 & {\color{red}0} & {\color{red}0} \\ 
{\color{red}0} & 4 & {\color{red}0} \\
{\color{red}0} & {\color{red}0} & 6 
\end{bmatrix}

Powers of Diagonal Matrices

For all diagonal matrices we have that

\color{#a3f09e}
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & … & 0 \\ 
0 & a_{22} & … & 0 \\
… & … & ⋱ & ︙ \\
0 & 0 & … & a_{nn}
\end{bmatrix} ^p
= 
\begin{bmatrix}
a_{11}^p & 0 & … & 0 \\ 
0 & a_{22}^p & … & 0 \\
… & … & ⋱ & ︙ \\
0 & 0 & … & a_{nn}^p
\end{bmatrix}

The Identity Matrix

for r=c $[a_{rc}] = 1$, else $[a_{rc}] = 0$,

\color{#00eeff}
𝐈_{₂⨯₂} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{bmatrix}

For all $A_n · I_n = A_n$
For all $I_n · A_n = A_n$
$𝐈_{r} · A_{r⨯c} = A_{r⨯c}$
$A_{r⨯c} · 𝐈_{c} = A_{r⨯c}$

Inverse Matrices

If two square matrices, $A_n$ and $B_n$, are such as

\color{#c7de7a}
A_n·B_n = I_n

Matrices

The array of m×n (real) numbers 𝒂ᵢⱼ consisting of m rows and n columns

𝐀 = 
⎛ 𝒂₁₁	𝒂₁₂	…	𝒂₁𝚗	⎞
⎢ 𝒂₂₁	𝒂₂₂ 	… 	𝒂₂𝚗	⎥
⎢ … 	… 	⋱	  …	⎥
⎝ 𝒂𝚖₁ 	𝒂𝚖₂ 	⋯ 	𝒂𝚖𝚗	⎠

is called an m×n matrix with the numbers 𝒂ᵢⱼ as its elements.

The following notation will be used for a matrix:

The Matrix:
 𝐀⃣ 
The element:
𝐀(i,j) {i = 1, 2, ⋯ , m; j = 1, 2, ⋯ , n}
𝒂ᵢⱼ

where subscripts i and j denote the rows and columns position, respectively.

Espacio de Matrices

$𝔐_{m⨯n} (𝕂)$ es el conjunto de matrices de tamaño $m⨯n$ cuyas entradas son elements de $𝕂$

The set of all matrices of size m×n with elements from the set $𝕂$ is denoted by:

𝕄ₘₓₙ(𝕂)

Matriz Cuadrada

Una matrix con $m=n$

Traza de la Matriz

Es la suma de los elements de su diagonal tr( A⃣ ) = ∑A(i,i)

Transpose

By interchanging a matrix's rows and columns, we get the transpose of the matrix denoted by Aᵀ. Thus we write Aᵀ(i,j) = A(j,i).

Matriz simétrica

si A=Aᵀ

Matriz Antisimétrica

si -A=Aᵀ

Matriz Transpuesta Conjugada

Aᵀᶜ : Aᵀᶜ(i,j) = complejoConjugado(A(j,i))

Matriz Hermítica

Matriz Cuadrada.
A(i,j) = Aᵀᶜ

Matric triangular superior

si A(i<j,j)=0

Matric triangular inferior

si A(i>j,j)=0

Matriz Diagonal

si A(i≠j,j)=0

⎛　𝒂₁₁	0	0  　⎞
⎢　0	𝒂₂₂ 	0 　 ⎥
⎝　0 	0 	𝒂₃₃　⎠

Matriz Identidad

A⃣ · I⃣ = A⃣ si A(i=j,j):= 1; else :=0

⎛　1	0　　　0　⎞
⎢　0	1　　　0　⎥
⎝　0 	0　　　1　⎠

Matriz Nula

A⃣ = 0⃣ si A(i,j) :=0

⎛　0	0　　　0　⎞
⎢　0	0　　　0　⎥
⎝　0 	0　　　0　⎠

Matriz Nula de Orden n

Ceros en la diagonal principal.

Fila / Columna nula

Si todas las entradas de la Fila/Columna son $0$

Submatriz

La matriz obtenida a partir de la eliminación de filas o columnas de otra matriz raiz.

Inversa de una Matriz

Sea 𝗔 una matriz cuadrada $n×n$. Si existe una matriz $𝗔^{-1}$ tal que

\color{Silver}
𝗔 𝗔^{-1} = 𝗜_n

Entonces decimos que $𝗔^{-1}$ es la Matriz Inversa de $𝗔$

Para una matriz $2×2$ tenemos que para

\color{Silver}
𝗔 = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{bmatrix}

entonces

\color{Silver}
𝗔^{-1} = \frac{1}{\color{Gold}ad-bc} 
\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a 
\end{bmatrix}

Si ${\color{Gold}ad-bc} = 0$, entonces 𝗔 no tiene inversas.

Matrix Algebra

Ante el sistema:

	a11 x + a12 y + a13 z + a14 t = C1
	a21 x + a22 y + a23 z + a24 t = C2
	a31 x + a32 y + a33 z + a34 t = C3
	a41 x + a42 y + a43 z + a44 t = C4

Se puede expresar en forma de Matriz


(A) = 	⎛	a11	a12	a13	a14	⎞
	⎜	a21	a22	a23	a24	⎟  
	⎜	a31	a32	a33	a34	⎟
	⎝	a41	a42	a43	a44	⎠

Rango de una matriz

Número de filas y columnas de una matriz, si es cuadrada ha de ser único, mismo nº de filas y de columnas.

ran(A) = 4 ó 2x2

Se pueden calcular las incógnitas de una matriz sustituyendo la columna propia (es decir, la parte de la matriz que corresponde a los valores de la incógnita) por los resultados de las determinaciones, dividiendo la matriz resultante entre la matriz inicial.

x =	|	C1	a12	a13	a14	|
	|	C2	a22	a23	a24	|
	|	C3	a32	a33	a34	|
	|	C4	a42	a43	a44	|  
      ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━  
		|A|

Para diferenciar si una matriz representa un sistema compatible debemos observar si al tomarla con los resultados (Cn) mantiene el mismo rango. Para esto debemos calcular el determinante de ambas, equivalente al rango.

El determinante de una matriz se calcula en estrella: Se suman los que tengan dirección \ y se restan los de /

Si el determinante es igual a cero la inversa no existe (A^-1)

También se puede sacar el determinante por partes, si se trata de una matriz triangular. en este caso el determinante de a11 se multiplicaría por el determinante de la matriz marcada en magenta, pudiendo ser cualquiera de los dos casos de ser a12 y a13 valor de 0 ó a21 a31 a41 valor 0. Esto se puede obtener por varias transformaciones de Gauss, pero hay que tener en cuenta las transformaciones (las independientes de las filas, el cambio de posición entonces se multiplica por (-1)).

Operaciones con matrices

Para sumar matrices se suma el a11 con el b11 en la posición 11, y lo mismo con todos en las posiciones ixj.

Además: (A+B)+C=A+(B+C)
A+B=B+A

Para Multiplicar Matrices tienen que tener la primera el mismo número de filas que la segunda columnas, de la misma longitud. De esta dimensión será la matriz resultante.

AxB  >>  |2x3| x |3x2|=|2x2|     

| a11 a12 a13|	| b11  b12 |         
| a21 a22 a23| x| b21  b22 |  =   
		| b31  b32 |                    

| (a11xb11+a12xb21+a13xb31)11    (a11xb12+a12xb22+a13xb32)12 |
| (a21xb11+a22xb21+a23xb31)21    (a21xb12+a22xb22+a23xb32)22 |

Importante: AxB=/=BxA, en este caso está indeterminada.

Sistemas de ecuaciones con incógnitas

╭	a11	a12	a13	a14	┊C1 ╮
│	a21	a22	a23	a24	┊C2 │
│	a31	a32	a33	a34	┊C3 │
╰	a41	a42	a43	a44	┊C4 ╯

Tipos

Incompatible: No tiene solución
Compatible: Tiene solución.
- Determinadas: Si tiene una solución
- Indeterminadas: Si tiene infinitas soluciones.

Resolución por Gauss.

Se hace uso de la matriz unidad o Identidad

|	1	0	0	0|
|	0	1	0	0|  Identidad de orden 4
|	0	0	1	0|
|	0	0	0	1|

Hay que transformar, mediante métodos elementales de matrices, la matriz A y la Identidad simultáneamente

Matrices:

Linear relations between variables.

𝗔₃༝₂=
┌───┬────┐
┃𝖺₁₁ ┊ 𝖺₁₂│
├───┼────┤
┃𝖺₂₁┊ 𝖺₂₂│
├───┼────┤
┃𝖺₃₁┊ 𝖺₃₂│
└───┴───━┛

𝗔 𝙵𝚒𝚕𝚊𝚜ᳵ𝙲𝚘𝚕𝚞𝚖𝚗𝚊𝚜

𝗔₃༝₂ ∙𝗕₂༝₂=
          ┌─────────────────┬────┐
          ┃𝗯₁₁              ┊ 𝗯₁₂│
          ├─────────────────┼────┤
          ┃𝗯₂₁              ┊ 𝗯₂₂│
          └─────────────────┴───━┛
┌───┬────┐╔══════════════════╦═╗
┃𝖺₁₁┊ 𝖺₁₂│║ 𝖺₁₁ 𝗯₁₁ + 𝖺₁₂ 𝗯₂₁║. ║
├───┼────┤╠══════════════════╬═╣
┃𝖺₂₁┊ 𝖺₂₂│║                  ║ ║
├───┼────┤╠══════════════════╬═╣
┃𝖺₃₁┊ 𝖺₃₂│║.                 ║.║
└───┴───━┛╚══════════════════╩═╝

c𝑓ᳵ𝑐=𝖺(fila)•𝖻(columna)
    Producto vector punto de la fila de 𝗔 con la columna de 𝖡

Matrices

Given two natural numbers m, n, a m × n matrix with real coefficients is a table of mn real numbers placed on m rows and n columns. For example:

\begin{pmatrix}
5 & 6 & 0 \\
4 & 3 & -1
\end{pmatrix}

is a 2×3 matrix.

If m = n the matrix is said to be square of order n. For example

\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{pmatrix}

is a square matrix of order 2.

We denote by $M_{m,n}(ℝ)$ the set of $m × n$ matrices with real coefficients and simply by $M_n(ℝ)$ the set of square matrices of order $n$ with real coefficients.

Given a matrix $A$, the number that appears in the $i-th$ row and $j-th$ column of A is called the A(i,j) element.

Operaciones con Matrices

$A = B$ ⟺ $A(i,j) = B(i,j) ⠀for ⠀∀i,j$
Cross Product $A_{ms}⨯B_{sn} = C_{mn}$
- $c_{ij} = ∑{h=1}^s a{ih}·b_{hj}$

Matrix form of a system

We can express a system

\left\{\begin{matrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +a_{13}x_3 + ... + a_{1n}x_n  = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +a_{23}x_3 + ... + a_{2n}x_n  = b_2 
\\
 ... \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +a_{m3}x_3 + ... + a_{mn}x_n  = b_m 
\end{matrix}\right.

\begin{pmatrix}
a_{11} &  a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
 ... \\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\ b2 \\ ... \\ b_m
\end{pmatrix}

That we synthesize using algebra as

𝗔·𝑥⃗ = 𝑏⃗