Cálculo de Probabilidades Básico

Ejercicio 1:

Imagina que lanzas dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea 7?

graph TD
    A[Dado 1] -->|1/6| B1[1]
    A -->|1/6| B2[2]
    A -->|1/6| B3[3]
    A -->|1/6| B4[4]
    A -->|1/6| B5[5]
    A -->|1/6| B6[6]

    B1 -->|1/6| C6[6]
    B2 -->|1/6| C5[5]
    B3 -->|1/6| C4[4]
    B4 -->|1/6| C3[3]
    B5 -->|1/6| C2[2]
    B6 -->|1/6| C1[1]

    C6 -->|1/36| D[Suma 7: 6/36]
    C5 -->|1/36| D
    C4 -->|1/36| D
    C3 -->|1/36| D
    C2 -->|1/36| D
    C1 -->|1/36| D

Combinatoria y Probabilidad

Ejercicio 1

En un grupo de 30 personas, 15 son mujeres y 15 son hombres. Se eligen 5 personas al azar. Calcula la probabilidad de que:

• Todas sean mujeres.

• Al menos una sea mujer.

Todas sean mujeres.

Aquí, usaremos la combinatoria para calcular la probabilidad. La idea es encontrar la probabilidad de seleccionar 5 mujeres de un total de 15, de entre un grupo de 30 personas.

1. Número de Maneras de Elegir 5 Mujeres de 15:
   • Utilizamos la fórmula de combinaciones:
     $\binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!}$
2. Número Total de Maneras de Elegir 5 Personas de 30:
   • De manera similar, usamos la fórmula de combinaciones:
     $\binom{30}{5} = \frac{30!}{5!(30-5)!}$
3. Cálculo de la Probabilidad
   • La probabilidad es la razón entre estas dos cantidades:
     $P(\text{Todas mujeres}) = \frac{\binom{15}{5}}{\binom{30}{5}} = \frac{15·14·13·12·11}{30·29·28·27·26}$

Al menos una sea mujer

Aquí, calculamos la probabilidad del evento complementario (es decir, que todas las personas elegidas sean hombres) y luego restamos esto de 1.

1. Probabilidad de Elegir Solo Hombres:
   $P(\text{Todos hombres}) = \frac{\binom{15}{5}}{\binom{30}{5}}$
2. Probabilidad de Al Menos Una Mujer:
   • Usamos el principio del complemento:
     $P(\text{Al menos una mujer}) = 1 - P(\text{Todos hombres}) = 1 - \frac{\binom{15}{5}}{\binom{30}{5}}$

def factorial(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)

def calcular_combinaciones(n, r):
    return factorial(n) // (factorial(r) * factorial(n - r))

def probabilidad_todas_mujeres():
    combinaciones_mujeres = calcular_combinaciones(15, 5)
    combinaciones_total = calcular_combinaciones(30, 5)
    return combinaciones_mujeres / combinaciones_total

def probabilidad_al_menos_una_mujer():
    combinaciones_hombres = calcular_combinaciones(15, 5)
    combinaciones_total = calcular_combinaciones(30, 5)
    probabilidad_todos_hombres = combinaciones_hombres / combinaciones_total
    return 1 - probabilidad_todos_hombres

# Calculamos y mostramos las probabilidades
prob_todas_mujeres = probabilidad_todas_mujeres()
prob_al_menos_una_mujer = probabilidad_al_menos_una_mujer()

print(f"Probabilidad de que todas sean mujeres: {prob_todas_mujeres}")
print(f"Probabilidad de que al menos una sea mujer: {prob_al_menos_una_mujer}")

Probabilidad Condicional

Ejercicio 3

Supongamos que en una caja hay 10 bolas rojas y 15 azules. Se sacan dos bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul dado que la primera fue roja?

Desarrollo del Problema

1. Extracción de la Primera Bola (Roja): 🔴
   • Al sacar una bola roja primero, quedan 9 bolas rojas y 15 azules.
   • Esto deja un total de 24 bolas en la caja.
2. Extracción de la Segunda Bola (Azul): 🔵
   • Queremos saber la probabilidad de sacar una bola azul de las 24 restantes.
3. Cálculo de la Probabilidad:
   • La probabilidad de que la segunda bola sea azul, dado que la primera fue roja, es simplemente el número de bolas azules restantes dividido por el total de bolas restantes:
     $\frac{15}{24}$

Conclusión

Por lo tanto, la probabilidad de que la segunda bola sea azul dado que la primera fue roja es $\frac{15}{24}$

Independencia de Sucesos

Ejercicio 1

Dos eventos A y B son tales que $P(A)=0.5$, $P(B)=0.4$ y $P(A∩B)=0.2$. ¿Son A y B eventos independientes?

1. Fórmula de Independencia de Probabilidades
   • $P(A)·P(B) = P(A∩B)$
2. Applicación de la fórmula
   • $0.5·0.4 ≟ 0.2$
   • $0.2 ≟ 0.2$
3. Conclusión: Son eventos independientes.

Variable Aleatoria y Distribución

Ejercicio 1

Sea $X$ una variable aleatoria que representa el número obtenido al lanzar un dado. Encuentra la función de distribución de $X$.

En este caso, se nos pide encontrar la función de distribución de una variable aleatoria $X$, que representa el número obtenido al lanzar un dado.

1. Variable Aleatoria $X$: Representa el resultado de lanzar un dado, por lo que $X$ puede tomar valores en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Función de Distribución Acumulativa $F(x)$: La función de distribución acumulativa (CDF, por sus siglas en inglés) de una variable aleatoria discreta $X$ se define como:

F(x) = P(X \leq x)

Desarrollo para un Dado Justo

En el caso de un dado justo, la probabilidad de obtener cualquier número específico es $\frac{1}{6} La función de distribución acumulativa, en este caso, se define como:

F(x) = \begin{cases} 
0 & \text{para } x < 1 \\
\frac{1}{6} & \text{para } 1 \leq x < 2 \\
\frac{2}{6} & \text{para } 2 \leq x < 3 \\
\frac{3}{6} & \text{para } 3 \leq x < 4 \\
\frac{4}{6} & \text{para } 4 \leq x < 5 \\
\frac{5}{6} & \text{para } 5 \leq x < 6 \\
1 & \text{para } x \geq 6 
\end{cases}

Esta función refleja cómo la probabilidad acumulada aumenta a medida que consideramos números mayores en el conjunto de resultados posibles del lanzamiento de un dado. 🎲🔢📈