"Not only does God play dice, but He sometimes confuses us by throwing them where they can't be seen."
Stephen Hawking

Experimento aleatorio

Es un experimento en el que el resultado var ́ıa de una manera impredecible cuando se repite en las mismas condiciones

Se especifica al establecer Un procedimiento experimental Un conjunto de una o m ́as mediciones y observaciones

Experimento E1: Seleccionar una bola de una urna que contiene bolas numeradas del 1 al 50. Anotar el n ́umero. Experimento E2: Seleccionar una bola de una urna que contiene bolas numeradas del 1 al 4. Suponer que las bolas numeradas con 1 y 2 son de color negro y que las bolas numeradas con 3 y 4 son de color blanco. Anotar el n ́umero y el color de la bola que se selecciona. Experimento E3: Lanzar una moneda tres veces y anotar la secuencia de caras y cruces. Experimento E4: Lanzar una moneda tres veces y anotar el n ́umero de caras. Experimento E5: Contar el n ́umero de paquetes de voz producido por un grupo de N interlocutores en un per ́ıodo de 10 ms que contienen s ́olo silencio. Experimento E6: Un bloque de informaci ́on se transmite repetidamente a trav ́es de un canal ruidoso hasta que un bloque sin errores llega al receptor. Contar el n ́umero de transmisiones necesarias. Experimento E7: Elegir al azar un n ́umero entre cero y uno. Experimento E8: Medir el tiempo transcurrido entre solicitudes de p ́aginas en un servidor web. Experimento E9: Medir el tiempo de vida de un chip de memoria de un ordenador dado en un entorno determinado. Experimento E10: Determinar el valor de una se ̃nal de audio en un instante de tiempo t1. Experimento E11: Determinar el valor de una se ̃nal de audio en los instantes de tiempo t1 y t2. Experimento E12: Elegir al azar dos n ́umeros entre cero y uno. Experimento E13: Escoger al azar un n ́umero X entre cero y uno, despu ́es escoger al azar un n ́umero Y entre cero y X. Experimento E14: Una componente de un sistema se instala en el instante de tiempo t = 0. Sea X(t) = 1 para t ≥ 0 siempre y cuando el componente est ́e funcionando, y sea X(t) = 0 para cualquier instante de tiempo considerado despu ́es de que la componente falle. Los experimentos aleatorios pueden Constar del mismo procedimiento, pero diferir en las observaciones realizadas: E3 y E4 Involucrar m ́as de una medici ́on u observaci ́on:E2, E3, E11, E12 y E13 Implicar una continuidad de mediciones: E14 Ser secuenciales, i.e. pueden ser vistos como una sucesi ́on de subexperimentos simples:E3, E4, E5, E6, E12 y E13

El espacio muestral Por definici ́on,

los experimentos aleatorios no siempre producen el mismo resultado Es necesario determinar el conjunto de posibles resultados de un experimento. Se define elemento muestral como un resultado que no se puede descomponer

en otros resultados Cuando realizamos un experimento aleatorio, se produce un ́unico resultado

Los resultados son mutuamente excluyentes en el sentido de que no pueden ocurrir simult ́aneamente. El espacio muestral S de un experimento aleatorio se define como

el conjunto de todos los posibles resultados

Representaciones del espacio muestral Denotaremos mediante ξ un resultado o elemento muestral de un experimento

ξ es un elemento o punto de S

Cada realizaci ́on de un experimento aleatorio puede ser visto como la selecci ́on al azar de un ́unico punto (resultado) de S El espacio muestral S Se puede especificar de forma compacta mediante el uso de la notaci ́on de conjuntos Se puede visualizar mediante tablas, diagramas, intervalos de la recta real, o regiones del plano.

Hay dos formas b ́asicas para especificar un conjunto Listar todos los elementos

A = {0, 1, 2, 3}

Dar una propiedad

A = {x : x es un entero tal que 0 ≤ x ≤ 3}
S1 = {1, 2, . . . , 50}
S2 = {(1, n),(2, n),(3, b),(4, b)}
S3 = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX}
S4 = {0, 1, 2, 3}
S5 = {0, 1, 2, . . . , N}
S6 = {1, 2, 3, . . .}
S7 = {x : 0 ≤ x ≤ 1} = [0, 1]
S8 = {t : t ≥ 0} = [0, ∞)
S9 = {t : t ≥ 0} = [0, ∞)
S10 = {v : − ∞ < v < ∞} = (−∞, ∞) = R
S11 = {(v1, v2) : − ∞ < v1 < ∞ y − ∞ < v2 < ∞}
= (v1, v2) ∈ R
2

S12 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1}
S13 = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}
S14 = conjunto de funciones X(t) para las cuales X(t) = 1
para 0 ≤ t < t0 y X(t) = 0 para t ≥ t0, donde t0 > 0
es el instante de tiempo en el que la componente falla

El prop ́osito de un experimento influye en la elecci ́on del espacio muestral Hay tres posibilidades para el n ́umero de resultados en un espacio muestral Finito Infinito numerable Infinito no numerable S es un espacio muestral discreto si es numerable S es un espacio muestral continuo si es no numerable Experimentos con el mismo procedimiento experimental pueden tener diferentes espacios muestrales: E3 y E4 E1, E2, E3, E4 y E5 tienen espacios muestrales discretos finitos. E6 tiene un espacio muestral discreto infinito numerable. E7 al E13 tienen espacios muestrales continuos. El resultado de un experimento puede consistir de una o m ́as observaciones o mediciones. El espacio muestral S puede ser multi-dimensional Los resultados en los experimentos E2, E11, E12 y E13 son bidimensionales Los resultados del experimento E3 son tridimensionales En algunos casos, el espacio muestral se puede escribir como el producto cartesiano de otros conjuntos. S11 = R × R, donde R es el conjunto de los n ́umeros reales S3 = S × S × S, donde S = {C, X} A veces es conveniente dejar que el espacio muestral incluya resultados que sean imposibles: E9 Conviene definir el espacio muestral como la recta real positiva A pesar de que un dispositivo no puede tener una duraci ́on infinita Habitualmente NO estaremos interesados en la ocurrencia de unos resultados espec ́ıficos. Nos interesar ́a conocer La ocurrencia de alg ́un evento o suceso Si el resultado satisface ciertas condiciones Esto requiere que consideremos subconjuntos de S A es un subconjunto de B si cada elemento de A pertenece tambi ́en a B Dos sucesos de especial inter ́es son El suceso seguro, S, formado por todos los resultados

Ocurre siempre

El suceso imposible, Ø, que no contiene ning ́un resultado

No ocurre nunca

E10 involucra la medici ́on de una tensi ́on Podr ́ıamos estar interesados en el suceso “la se ̃nal de tensi ́on es negativa”

Las condiciones de inter ́es definen un subconjunto del espacio muestral. Buscamos el conjunto de puntos ξ de S que satisfacen las condiciones dadas

“La se ̃nal de tensi ́on es negativa”se corresponde con el conjunto {ξ : − ∞ < ξ < 0} = {ξ : ξ ∈ (−∞, 0)} El suceso ocurre si y s ́olo si el resultado del experimento ξ est ́a en este subconjunto Por esta raz ́on, en general,

los sucesos se corresponden con subconjuntos de S