Derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo.

Sí, hijo, sí; lo de antes solo era una introducción. Bueno, en resumidas cuentas, la relación entre la integral y la derivada es que si a la misma función le realizas ambas transformaciones esta no baría.

Primer Tma. Fundamental del Cálculo

Sea 𝑓(x) una función integrable en [𝑎,𝑏] con  𝑎≤𝒄≤𝑏
 𝐹(𝑥) = 
⌠𝑥
⎮  𝑓(𝑡) 𝖽𝑡   
⌡𝑐
   
si  𝑎≤𝑥≤𝑏
Entonces existe 
𝐹'(𝑥) := 𝑓(𝑥)

Segundo Tma. Fundamental del Cálculo

Sea 𝑓(x) una función integrable en [𝑎,𝑏] con  𝑎≤𝒄≤𝑏
𝐹(𝑥) =  
 𝐹(𝑐)
   +
 ⌠𝑥
 ⎮  𝑓(𝑡) 𝖽𝑡   
 ⌡𝑐

El símbolo ∫𝑓(x) indica la primitiva (general) de 𝑓(x)
∫𝑓(x) =
𝐹(𝑥) =  
 𝐹(𝑐) + C

 ⌠𝑏
 ⎮  𝑓(𝑡) 𝖽𝑡 = ∫𝑓(x) |[𝑎,𝑏]
 ⌡𝑎

Por cuestión de tradición y profesores que no explican lo que están haciendo en la pizarra (de esos seguro que conoces un par) y de más de uno que no sabe lo que está haciendo (mira, de esos hay más) resulta que el símbolo de la derecha se ha considerado a veces, erróneamente, como símbolo de la integral indefinida y no como lo que es: Función primitiva o antiderivada. De tontos está el mundo lleno, pero ve tu a decirle que se equivoca a tu profe, y después me cuentas. Así que toca adaptarse, a partir de ahora integral y primitiva se toman como sinónimos, siendo integral definida la integral tradicional.

Integración por sustitución