Area

En un rectángulo, que definimos como

┌─────┐ 
│     │ altura   Area = base × altura
└─────┘
 base

el área es el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Ante este sorprendente principio del cálculo, durante siglos el área se obtenía dividiendo la figura en rectángulos medibles.Acotando con rectángulos y obteniendo su área se obtenía un área acotada superior e el área es el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Ante este sorprendente principio del cálculo, durante siglos el área se obtenía dividiendo la figura en rectángulos medibles.Acotando con rectángulos y obteniendo su área se obtenía un área acotada superior e inferiormente.

Verde < A(x)< Amarilla Cuanto más pequeña fuera la base de estos rectángulos, más preciso era el calculo. Así que un buen día Newton, tras recuperarse de un manzanazo, dijo "¿Y si la base fuera 1/∞?" Y así nació el cálculo moderno.

También lo invento Leibnitz de manera independiente (su notación es la generalizada).

Dejando a un lado los desamoríos de quién hizo qué antes, pasemos a explicar que significa eso. Al sumar las áreas de los "rectángulos" de esta forma se obtuvo una manera exacta de medir el área de cualquier objeto., con rectángulos cuya área individual es: F(x)·dx

Teoría de la integración.

Si recuerdas esa gran idea de tomar rectángulos de base infinitesimal, como Newton decía, entonces ya te estarás haciendo una idea de como se aplica a la integración de funciones en general.

El sumatorio de rectángulos de área toma su forma de integral generalizada cuando los rectángulos son de valor

f(x)·dx

⌠b
⌡a

Se utiliza para determinar el intervalo del recorrido de x que se utiliza en el sumatorio de rectángulos. La función debe tener el domino (en y) acotado en todo el recorrido (en x). Otra forma de verlo es decir que y nunca puede acercarse a ∞ o -∞.

a y b se denominan límites de integración.

A la función utilizada se le denomina integrando.

El desarrollo de la integración toma como punto de partida las funciones escalonadas, acotando cualquier función entre dos de estas funciones.

Siendo f(x) la función a integrar utilizamos s(x) como cota inferior y t(x) como cota superior.

s(x)≤f(x)≤t(x)

Sup(∫s(x)) ≤ ∫f(x) ≤ Inf(∫t(x))

para todos los valores de s y de t.

Integral de Polinomio

La forma simple de integrar directamente se resume en despejar el integral al factor dependiente y aplicar la siguiente igualdad:

⌠b           bⁿ⁺¹ 
⎮   𝑥ⁿ dx = ______
⌡0            n+1

Para generalizar esta fórmula, que parte siempre de cero, utilizando la propiedad de la suma de integrales, obtenemos que:

⌠b          ⌠b          ⌠a 
⎮   𝑥ⁿ dx = ⎮   𝑥ⁿ dx - ⎮   𝑥ⁿ dx
⌡a          ⌡0          ⌡0
=============
 bⁿ⁺¹ 
______
 n+1

Como con el símbolo 𝑃(𝑥)|[a,b] expresamos que se va desde el valor a de x al b, podemos expresarlo de forma más resumida con la forma:

 xⁿ⁺¹ 
______  |[a,b]
 n+1

Y te preguntarás cómo hacemos con una sola fórmula para integrar un polinomio, cacho cazurro. Por que te olvidas de la propiedad de linealidad!!